MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 183

a) Z x\sqrt2=x+2 mamy x=2(\sqrt2+1). b) Bok naprzeciw 30^\circ ma długość połowy przeciwprostokątnej: 6-x=\frac x2, więc x=4. c) Z proporcji boków x+1=x\sqrt3 mamy x=\frac{\sqrt3+1}{2}. Sumujemy trzy boki w każdym podpunkcie.

Bok rombu to ćwierć obwodu, a wysokość ma długość a\sin\alpha. a) a=8\sqrt3, więc h=8\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12. b) 10\sqrt2=a\cdot\frac{\sqrt2}{2}, więc a=20.

Ponieważ P jest środkiem podstawy równoramiennego trójkąta ABC, odcinek CP jest prostopadły do AB. Mamy AP=2\sqrt3 i CP=\sqrt{4^2-(2\sqrt3)^2}=2. Trójkąt APC ma zatem boki 2\sqrt3,2,4; wysokość na przeciwprostokątną to \frac{(2\sqrt3)\cdot2}{4}=\sqrt3.

Przyjmijmy A=(0,0). Ponieważ \angle A=45^\circ, punkty na boku AD mają postać (u,u). Z AB=2{,}5 dostajemy E=(2{,}5,2{,}5). Jeśli C=(u,0), to D=(u,u). Krótszą przekątną trapezu jest CE, więc (u-2{,}5)^2+2{,}5^2=\frac{41}{4}, skąd u=4{,}5.

Trójkąt ma kąty 30^\circ,60^\circ,90^\circ. Dla krótszej przyprostokątnej s suma przeciwprostokątnej i dłuższej przyprostokątnej wynosi s(2+\sqrt3)=2\sqrt6+6\sqrt2, więc s=6\sqrt2-2\sqrt6. Pole to \frac12s\cdot s\sqrt3.

Trójkąt BCD jest prostokątny w D i ma kąt 30^\circ przy B. Dla krótszej przyprostokątnej s jego pole to \frac{\sqrt3}{2}s^2=3\sqrt3, więc s=\sqrt6 i BD=3\sqrt2. Trójkąt ABD ma kąty 30^\circ,60^\circ,90^\circ, a BD leży naprzeciw 30^\circ; stąd AD=3\sqrt6, AB=6\sqrt2.

a) Pole z wysokości na przeciwprostokątną to 20, więc iloczyn przyprostokątnych wynosi 40. Z a^2+b^2=100 mamy (a+b)^2=180, zatem a+b=6\sqrt5. b) Rzut C na prostą AB leży po stronie punktu A. Z BC=2\sqrt{13} i wysokości 4 wynika odległość rzutu od B równa 6, więc od A równa 3, a AC=5.

Stosujemy wzór Apoloniusza. a) Dla boków 6,8,10 otrzymujemy \frac12\sqrt{2\cdot8^2+2\cdot10^2-6^2}=\sqrt{73} oraz \frac12\sqrt{2\cdot6^2+2\cdot10^2-8^2}=2\sqrt{13}. b) Boki to 6,6\sqrt3,12; analogiczne podstawienie daje 3\sqrt{13} i 3\sqrt7.