MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 182

Dla ramienia a obwód wynosi a(2+\sqrt2). a) Z równania a(2+\sqrt2)=6(1+\sqrt2) otrzymujemy a=3\sqrt2, więc pole \frac{a^2}{2}=9. b) Warunek a\sqrt2-a=1+\sqrt2 daje a=3+2\sqrt2, po czym liczymy \frac{a^2}{2}.

Kąty ostre mają 30^\circ i 60^\circ. Jeśli krótsza przyprostokątna ma długość s, to dłuższa ma s\sqrt3, a różnica s(\sqrt3-1)=12-4\sqrt3=4\sqrt3(\sqrt3-1). Zatem s=4\sqrt3, a dłuższa przyprostokątna ma 12.

a) W prawym trójkącie 30^\circ-60^\circ-90^\circ wysokość wynosi 2\sqrt2. Lewy trójkąt jest równoramienny prostokątny, więc x=2\sqrt2, y=4. b) Wewnętrzny trójkąt 45^\circ-45^\circ-90^\circ ma wysokość 4 i y=4\sqrt2. Dla zewnętrznego trójkąta \tan30^\circ=\frac4{x+4}, skąd x=4(\sqrt3-1).

a) Kąt 120^\circ jest kątem między ramionami. Po opuszczeniu wysokości dostajemy połowę podstawy 7{,}5 naprzeciw kąta 60^\circ, więc każde ramię ma 5\sqrt3. b) Wysokość 3 dzieli trójkąt na trójkąty o kątach 30^\circ i 45^\circ; ich pozostałe boki mają długości 6,3\sqrt3 oraz 3\sqrt2,3.

W trójkącie 30^\circ-60^\circ-90^\circ dłuższa przyprostokątna 18 daje krótszą 6\sqrt3 i przeciwprostokątną 12\sqrt3. Stosujemy wzór Apoloniusza m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2} kolejno dla obu wierzchołków ostrych.

Korzystamy z proporcji trójkąta 45^\circ-45^\circ-90^\circ: przeciwprostokątna jest \sqrt2 razy dłuższa od ramienia.

Używamy proporcji trójkąta 30^\circ-60^\circ-90^\circ: boki naprzeciw tych kątów pozostają w stosunku 1:\sqrt3:2.