MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 184

a) Jeśli przyprostokątne są a,b, to a+b=17 oraz a^2+b^2=169. Stąd ab=60, więc a,b są pierwiastkami t^2-17t+60=0. b) Niech druga przyprostokątna będzie b, a pierwsza 1+\frac b2. Równanie Pitagorasa daje (1+\frac b2)^2+b^2=4, skąd b=\frac65, a druga ma \frac85.

Bok rombu ma długość \sqrt{41}. Jeśli krótsza przekątna ma długość q, a dłuższa q+2, to z prostokątnego trójkąta utworzonego przez połówki przekątnych mamy q^2+(q+2)^2=4\cdot41. Dodatnie rozwiązanie to q=8.

Przeciwprostokątna ma długość 17. Pola półokręgów są proporcjonalne do kwadratów ich średnic, a 8^2+15^2=17^2, więc suma pól półokręgów na przyprostokątnych równa się polu półokręgu na przeciwprostokątnej. Po odjęciu wspólnych wycinków pozostaje dokładnie pole trójkąta.

W każdym rogu odcinamy trójkąt równoramienny prostokątny o przyprostokątnej x. a) Regularność daje 1-2x=x\sqrt2; bok ośmiokąta wynosi więc \sqrt2-1. b) Jeśli bok ośmiokąta jest równy 1, to odcięta przyprostokątna ma \frac1{\sqrt2}, a bok kwadratu 1+\sqrt2.

Rozwijamy: (x^2-y^2)^2+(2xy)^2=x^4-2x^2y^2+y^4+4x^2y^2=(x^2+y^2)^2, więc a^2+b^2=c^2. Następnie podstawiamy podane pary liczb.