MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 178

Niech boki pierwszego prostokąta będą równe 6k i 5k. Po skróceniu: \frac{6k-8/3}{5k-8/3}=\frac43, skąd k=\frac43. Obwód wynosi 22k=\frac{88}{3}=29{,}(3).

Po wymnożeniu otrzymujemy x(3x-2)=(x-1)(2x-1), czyli x^2+x-1=0. Dodatni pierwiastek to x_1=\frac{-1+\sqrt5}{2}=0{,}618033\ldots.

Z równania \frac{14}{2x-1}=3 mamy 14=6x-3, zatem x_0=\frac{17}{6}=2{,}8333\ldots.

Rozkładamy licznik: \frac{(x-2)(x-12)}{x+3}\le0. Analiza znaków daje (-\infty,-3)\cup[2,12]; liczbami naturalnymi spełniającymi warunek są więc liczby od 2 do 12. Stąd a=2, b=12, a \frac ab=\frac16=0{,}1666\ldots.

Dla m>0 rozwiązujemy osobno \frac{4x+4}{x+2}=m oraz \frac{4x+4}{x+2}=-m. Pierwiastki mają postacie x_1=\frac{2m-4}{4-m} i x_2=-\frac{2m+4}{m+4}. Drugi jest ujemny, a pierwszy dodatni dokładnie dla 2<m<4; wartości graniczne nie dają dwóch pierwiastków różnych znaków.

Pierwszą nierówność upraszczamy przy zachowaniu wykluczeń x\ne-2,4: \frac{x(x-3)}{x-4}\ge0, więc A=[0,3]\cup(4,\infty). W drugiej licznik x^2+4 jest dodatni, zatem B=(-2,2). Odejmujemy z A elementy zbioru B.

Liczymy pochodną ilorazu: f'(x)=\frac{m^2-3}{(m-x)^2}. Na obu przedziałach dziedziny mianownik jest dodatni, więc funkcja jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy m^2-3>0.

Odbicie względem x=-1 daje g(x)=f(-2-x)=-\frac{2(x+7)}{x+4}. Po odjęciu f(x)-g(x)=\frac{12(x+1)}{(x-2)(x+4)}. Tabela znaków, z wykluczeniami x=-4,2, daje szukany zbiór.

Po skróceniu f(x)=\frac1{x-3}, ale zachowujemy dziedzinę x\ne2,3, zatem na hiperboli jest usunięty punkt (2,-1). Funkcja g=\frac f{|f|} przyjmuje znak funkcji f: wartość -1 przed 3 (z dziurą dla x=2) oraz 1 po 3.