MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 177

Z wykresu odczytujemy asymptoty x=2 i y=1, zatem a=1. Ponadto \frac{ax+b}{x-2}=a+\frac{2a+b}{x-2}; ponieważ hiperbola pochodzi od y=-\frac3x, współczynnik przy ułamku jest równy -3. Stąd 2a+b=-3, czyli b=-5.

Sprowadzamy do wspólnego mianownika: \frac2{3x}-\frac1x=\frac{2-3}{3x}=-\frac1{3x}. Porównanie z \frac ax daje a=-\frac13.

Mamy |6x-3|=3|2x-1| oraz |1-2x|=|2x-1|. Równanie redukuje się do 2|2x-1|=10, więc 2x-1=5 albo 2x-1=-5.

Z wykresu odczytujemy asymptotę poziomą y=2, więc b=2. Na przedziale [\frac12,6] funkcja \frac3{2x}+2 maleje, dlatego minimum osiąga dla x=6 i wynosi \frac94. Dalej g(x)=0 prowadzi do \frac3{2x}+2-\frac38x=0, czyli 3x^2-16x-12=0.

Licznik rozkłada się na x(3x-1)(3x+1), a mianownik na x(3x+1)^2. Dziedzina wyklucza x=0 i x=-\frac13, więc dwa zera licznika nie mogą być miejscami zerowymi funkcji. Pozostaje wyłącznie 3x-1=0.

Każda połowa trasy ma 70 km. Drugi odcinek jest pokonywany z prędkością \frac v2, więc t(v)=\frac{70}{v}+\frac{70}{v/2}=\frac{210}{v} dla v>0.

Planowany czas przejazdu to \frac{100}{v}. Czas rzeczywisty: \frac{20}{v}+\frac16+\frac{80}{1{,}2v}. Z równania \frac{20}{v}+\frac16+\frac{80}{1{,}2v}=\frac{100}{v} otrzymujemy \frac{40}{3v}=\frac16, a stąd v=80.