MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 176

Sprawdzamy współrzędne w podanych wzorach. Dla odpowiedzi C mamy f(1)=\frac{1-7}{1-4}=2 oraz f(3)=\frac{3-7}{3-4}=4, więc oba punkty należą do wykresu. Pozostałe wzory odpadają już po podstawieniu punktu P.

Warunek miejsca zerowego to f(3)=0. W wariancie D otrzymujemy -\frac4{3-1}+2=-2+2=0; w pozostałych wariantach wartość nie jest zerem.

Dla h(x)=\frac{k}{x+2}+c pochodna ma znak przeciwny do k, więc funkcja rośnie na obu częściach dziedziny dokładnie dla k<0. Tylko 1-\sqrt2<0.

W odpowiedzi B dziedzina wyklucza tylko x=-1. Podstawienie daje dla x=-5: \frac{2+30}{-4}=-8=x-3, a dla x=1: \frac{2-6}{2}=-2=x-3.

Przekształcamy \frac{x}{x-2}=1+\frac2{x-2}. Składnik \frac2{x-2} przyjmuje każdą wartość różną od zera, więc cała funkcja przyjmuje każdą wartość różną od 1.

Dla x\ne-4,2 przenosimy prawą stronę: \frac{x+5}{x+4}-\frac1{x+4}=1. Nierówność ma więc postać 1+\frac5{x-2}<0, czyli \frac{x+3}{x-2}<0. Stąd -3<x<2, a liczbami całkowitymi są -2,-1,0,1.

Niech t=x-2\ne0. Wtedy f(x)-g(x)=2t^2-\frac1t-1=\frac{(t-1)(2t^2+2t+1)}t. Trójmian kwadratowy jest dodatni, więc iloraz jest nieujemny dla t<0 lub t\ge1.

Niech v oznacza prędkość prądu, 0<v<10. Różnica czasów wynosi \frac{24}{10-v}-\frac{24}{10+v}=1, zatem v^2+48v-100=0. Pierwiastki to 2 i -50; ujemny odrzucamy.