MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 174

Ze skanu odczytujemy asymptoty x=-1, y=2 oraz punkt (0,1), stąd f(x)=2-\frac1{x+1}=\frac{2x+1}{x+1}. Funkcja g=-1-\frac1{x+2} ma środek (-2,-1), więc względem środka (-1,2) przesunięcie wynosi [-1,-3]. W b przecięcie zadanych osi symetrii to (1,-3).

Równania i nierówności rozwiązujemy osobno na przedziałach dziedziny i, gdy występuje |x|, na półosiach. W d funkcja g ma dodatkowo wykluczony punkt x=1, mimo skrócenia wzoru.

a) Równanie |2/x-2|=3 rozbijamy na dwa równania liniowe względem 1/x. b) Prawa strona wymusza x>2; wtedy moduły można usunąć i mamy 4/(x-2)=x-2.

W obu podpunktach sprowadzamy różnicę f-g do wspólnego mianownika. W b licznik jest dokładnie dwa razy większy od mianownika, ale punkt zerowania mianownika pozostaje wykluczony.

Dla m<0 rozwiązaniem nierówności 4/x<m na ujemnej półosi jest przedział (4/m,0). Porównanie go z zadanym przedziałem daje 4/m=-8.

Po wymnożeniu przez x\ne0 równanie punktów wspólnych ma postać mx^2-x+m=0. Dla m=0 jedyny algebraiczny pierwiastek jest wykluczony, a dla m\ne0 dokładnie jeden punkt oznacza \Delta=0.

Po wymnożeniu przez x\ne0 badamy istnienie niezerowych pierwiastków otrzymanych równań. Szczególnie przypadki m=0 trzeba sprawdzić w pierwotnych wzorach, bo obie funkcje mogą się wtedy pokrywać.

Porównujemy współczynniki kierunkowe, pamiętając o wykluczeniach parametrów zerujących ich mianowniki. Prostopadłość oznacza iloczyn współczynników równy -1.

a) Mianownik jest dodatni, więc licznik liniowy ma być dodatni dla każdego x, co wymusza m=0. b) Licznik jest zawsze dodatni; mianownik ma być zawsze ujemny, czyli jego wyróżnik ma być ujemny. c) Po przeniesieniu -2 i uwzględnieniu stale ujemnego mianownika wymagamy, aby -2x^2+(m-1)x-1<0 dla każdego x.