MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 173
rozdział 3. Funkcje wymierne · temat „Zestawy powtórzeniowe” · 8 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
6 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Przenosimy wszystko na jedną stronę i sporządzamy tabelę znaków licznika oraz mianownika. Punkty wyłączone z dziedziny zawsze pozostają otwarte.
a) (-\infty,3)\cup[5,\infty); b) (-6,-2); c) (-\infty,-1)\cup[7,\infty); d) (0,1); e) (-\infty,-1)\cup(0,1); f) (0,\infty).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Sprowadzamy różnicę do jednego ułamka. Liczniki wynoszą kolejno 6, x+7 i 4(2x+1); następnie wykonujemy tabelę znaków z uwzględnieniem wszystkich zer mianowników.
a) (-3,3); b) (-7,1)\cup(5,\infty); c) (-\infty,-2)\cup[-\frac12,0)\cup(2,\infty).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Najpierw rozwiązujemy osobno warunki definiujące A i B, a potem wykonujemy działania na przedziałach. a) A=[-2,0)\cup[2,\infty), B=(-\infty,1]\cup(4,\infty). b) A=(-\infty,-1)\cup(0,1), B=(-\infty,-2)\cup[-1,\infty).
a) A\cup B=(-\infty,1]\cup[2,\infty), A\cap B=[-2,0)\cup(4,\infty), A\setminus B=[2,4]. b) A\cup B=\mathbb R, A\cap B=(-\infty,-2)\cup(0,1), A\setminus B=[-2,-1).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
6 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Usuwamy moduły na przedziałach wyznaczonych ich punktami załamania. W f prawa strona musi być nieujemna, co ogranicza poszukiwania do [2,6]; na żadnym z właściwych podprzedziałów równość nie zachodzi.
a) x=-5; b) x\in[1,\infty); c) x\in\{0,2\}; d) x\in\{-\frac12,2\}; e) x=-1; f) \varnothing.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 6
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W a dodatniość ułamka wymusza 1\le x<8, a dalsze porównanie daje x\le2. W b mamy 0<|x-4|<\frac52. W c, dla x>0, warunek |x-10|\ge x daje x\le5.
a) x\in\{1,2\}; b) x\in\{2,3,5,6\}; c) x\in\{1,2,3,4,5\}.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 7
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Poziom m musi należeć do zbioru wartości funkcji. Dwa rozwiązania powstają z dwóch równań po usunięciu zewnętrznego modułu, z wyjątkiem poziomów, przy których jedna gałąź zanika.
a) m\in(0,2)\cup(2,\infty); b) m\in(0,1)\cup(1,\infty); c) m\in(-2,\infty).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 8
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Podstawiamy nieujemny poziom m^2. W a poziom zero nie należy do zbioru wartości; w b poziom 1 jest asymptotą poziomą; w c równanie zawsze wyznacza jedną dodatnią wartość |x|.
a) 0 rozwiązań dla m=0, 2 dla m\ne0. b) 0 dla m\in\{-1,1\}, 1 dla pozostałych m. c) 2 rozwiązania dla każdego m\in\mathbb R.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 9
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wprowadzamy t=|x|\ge0 i liczymy przecięcia odpowiednich gałęzi z poziomą prostą y=m; dodatnia wartość t daje dwa argumenty, a t=0 jeden.
a) g(m)=0 dla m\le0, 2 dla 0<m<1, 3 dla m=1, 4 dla m>1. b) g(m)=0 dla m<0, 2 dla m=0, 4 dla 0<m<1, 3 dla m=1, 2 dla 1<m\le2, 4 dla m>2. c) g(m)=0 dla m<0, 1 dla m=0, 4 dla 0<m<1, 3 dla m=1, 2 dla m>1.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem