MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 170

a) Z równania hiperboli mamy x_0y_0=a, więc pole prostokąta jest równe a. b) Długość boku kwadratu spełnia t^2=|a|, zatem jego przekątna ma długość t\sqrt2. c) Punkty przecięcia leżą na dwóch prostych o nachyleniach \frac12 i 2; pole utworzonego prostokąta wynosi 3a.

Warunek jednego punktu wspólnego prowadzi do równania x^2-(m-1)x+m+2=0 z wyróżnikiem (m-7)(m+1). Tylko m=7 daje punkt C=(3,4) w I ćwiartce. Ze skanu odczytano wyłącznie oznaczenia: A=(0,0), B=(7,0), D=(0,4). Pole trapezu wynosi \frac{7+3}{2}\cdot4=20. Przecięcia hiperboli z osiami to (0,-2) i (-1,0).

a) Styczna do y=1/x w punkcie (1,1) ma nachylenie -1, więc ma równanie y=-x+2; jej odcinki na osiach mają długość 2. b) Warunek styczności równania ax^2+bx-1=0 to b^2+4a=0. Zatem a=-b^2/4, a iloczyn długości odcinków na osiach ma wartość 4.

Po podstawieniu y=1/x do równania okręgu dostajemy x^2+\frac1{x^2}=r^2. Lewa strona ma minimum 2. Dla r>\sqrt2 równanie w x^2 ma dwa dodatnie pierwiastki, dla równości jeden, a poniżej minimum — żadnego.

Na hiperboli xy=4 oznaczmy s=x+y. Kwadrat odległości od (1,1) jest równy (s-1)^2-7. Na dodatniej gałęzi s\ge4, więc minimum wynosi 2 i jest osiągane w (2,2); na ujemnej s\le-4, więc minimum wynosi 18 i jest osiągane w (-2,-2). Poza minimami każdy poziom przecina daną gałąź dwa razy.

Oba przecięcia z osiami mają współrzędną q=p-\frac6p=\frac{p^2-6}{p}. Pole trójkąta wynosi \frac12q^2, więc w a rozwiązujemy q=\pm1, a w b q=\pm5.