MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 169
rozdział 3. Funkcje wymierne · temat „3.15. Zagadnienia uzupełniające” · 7 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Rozkładamy mianowniki na czynniki i skracamy wyłącznie czynniki niezerowe. Otrzymujemy odpowiednio \frac1{x-y}, \frac{x^2}{y} i \frac{x+y}{x-y}, z zachowaniem dziedziny wyrażeń pierwotnych.
a) \frac1{x-y}=\frac16; b) \frac{x^2}{y}=-1; c) \frac{x+y}{x-y}=-\frac13.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Stosujemy wzory na sumę i różnicę sześcianów oraz różnicę kwadratów. Po skróceniu, z zachowaniem pierwotnej dziedziny, wyrażenia są równe a+b oraz \frac{a^2+b^2}{b}.
a) a+b=1; b) \frac{a^2+b^2}{b}=\frac52.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
6 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Rozkładamy wielomiany na czynniki i mnożenie przez odwrotność stosujemy dopiero po zapisaniu założeń. Kolejne skrócenia dają proste jednomiany lub wyrażenia liniowe.
a) \frac{x}{y+3}; b) -\frac32x(2y+3); c) 4xy; d) -\frac{x+2y}{4}; e) (x-y)^2; f) \frac1{x-y} — każdorazowo przy założeniach wynikających z wyrażenia początkowego.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
6 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Sprowadzamy składniki do wspólnego mianownika, a następnie redukujemy wyrazy podobne. W e licznik jest równy mianownikowi, natomiast w f dwa pierwsze składniki dają \frac{6xy}{4x^2-y^2}.
a) \frac{2x}{x^2-y^2}; b) \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}; c) \frac{y^2-x^2}{x^3y^3}; d) \frac{x^2+xy+y^2}{x^2y^2}; e) 1; f) \frac{10xy}{4x^2-y^2}.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W a różnica w nawiasie wynosi \frac{2ab}{a^2-b^2}. W b pierwszy czynnik upraszcza się do -\frac{a-1}{a}, a drugi do \frac{a^2}{b(a-1)}. Zachowujemy wykluczenia z wyrażeń początkowych.
a) \frac{2}{b(a-b)}; b) -\frac ab.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 6
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dwa pierwiastki o różnych znakach istnieją dla właściwego równania kwadratowego dokładnie wtedy, gdy iloczyn pierwiastków C/A jest ujemny. Taki warunek automatycznie zapewnia dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
a) m\in(0,2); b) m\in(-3,1); c) m\in(-1,0); d) brak takich wartości m.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 7
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Łączymy warunki Viète’a x_1+x_2>0, x_1x_2>0 z warunkami A\ne0 i \Delta>0. Punkty zerujące wyróżnik lub współczynnik wiodący nie należą do wyniku.
a) k\in(-2,0)\cup(0,2); b) k\in(-1,-\frac{\sqrt2}{2}); c) k\in(-\infty,-1)\cup(\frac32,7-2\sqrt7)\cup(7+2\sqrt7,\infty); d) k\in(2,6).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem