MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 168

Nadrobić pół godziny na odcinku 120 km oznacza \frac{120}{v}-\frac{120}{v+20}=\frac12. Dodatnie rozwiązanie równania v(v+20)=4800 wynosi 60.

Jeżeli wolniejszy jedzie z prędkością v, to \frac{36}{v}-\frac{36}{v+6}=1, czyli v(v+6)=216. Dodatni pierwiastek to v=12.

Niech prędkość na drodze polnej będzie równa v. Warunek czasu ma postać \frac{32}{v+20}+\frac{20}{v}=\frac83; po uproszczeniu otrzymujemy 2v^2+v-300=0.

W tym samym czasie szybszy przejechał 48 km, a wolniejszy 36 km. Prędkości są zatem w stosunku 4:3, a ich różnica wynosi 5 km/h.

a) Równanie \frac{120}{v}-\frac{120}{v+30}=\frac9{10} daje v(v+30)=4000. b) Czas powrotu to 1+\frac{240-v}{\frac32v}=\frac13+\frac{160}{v} i jest o godzinę krótszy od \frac{240}{v}.

a) Dla równych dróg średnia całej podróży spełnia \frac{2}{\frac1{40}+\frac1v}=60, skąd v=120. b) Jeśli odległość w jedną stronę wynosi s, to całkowity czas jest równy \frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}. Iloraz drogi 2s i tego czasu upraszcza się do średniej harmonicznej.