MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 164
rozdział 3. Funkcje wymierne · temat „\*3.12. Równania i nierówności z wartością bezwzględną (3)” · 6 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 3
9 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Kwadraty obu stron można porównywać, ponieważ występują wartości bezwzględne. Po rozłożeniu różnic kwadratów dostajemy nierówności iloczynowe; na końcu usuwamy zera mianowników.
a) (-\infty,\frac74]; b) (-5,-1)\cup(-1,\frac13); c) \{1\}; d) (-\infty,-1)\cup(-1,0); e) (-\infty,\frac{10}{9}]\cup[2,\infty); f) \mathbb R\setminus\{-3,1\}; g) [-1,2)\cup(2,\infty); h) (-\infty,-\frac{10}{11})\cup(-\frac2{13},4)\cup(4,\infty); i) (-\infty,-\frac{20}{3}]\cup[-\frac{12}{5},4)\cup(4,\infty).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Usuwamy moduł osobno na przedziałach wyznaczonych przez jego miejsce zerowe. W b rozwiązujemy równania kwadratowe na przedziałach (-2,0) i (0,\infty), a w c znak obu stron szybko eliminuje przedział x<3.
a) x\in\{\frac13,1\}; b) x\in\{-1,-1+\sqrt2\}; c) x=6.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
6 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Licznik z modułem jest nieujemny, dlatego znak ilorazu zależy od mianownika. W d–f podstawiamy t=|x|>0 i rozwiązujemy zwykłe nierówności w zmiennej t.
a) (0,1)\cup(1,\infty); b) (-2,-\frac43); c) (-\infty,0); d) x\in\{-2,2\}; e) (-\infty,-\frac12)\cup(\frac12,\infty); f) (-\infty,-4)\cup(-\frac43,0)\cup(0,\frac43)\cup(4,\infty).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 6
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Usuwamy moduły na odpowiednich przedziałach. Otrzymujemy: a) 1-\frac1x dla x>0 i -1+\frac1x dla x<0; b) 1-\frac1x dla x>0 i -1-\frac1x dla x<0; c) 1-\frac1x dla x\ge1 oraz \frac1x-1 dla x<1, x\ne0.
Dziedziną każdej funkcji jest \mathbb R\setminus\{0\}; wykresy otrzymuje się z podanych postaci przedziałowych.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 7
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W a warunek na pierwszą współrzędną daje 0<|x+1|\le3, a warunek na drugą -2\le y\le2. W b nierówność odwrotności jest równoważna |5-x|>|x+1|, czyli x<2, z wykluczeniem x=-1.
a) A=([-4,-1)\cup(-1,2])\times[-2,2]. b) A=((-\infty,-1)\cup(-1,2))\times\mathbb R.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 8
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Ze skanu odczytujemy, że brzeg obszaru przecina oś OX w punktach o odciętych -4 i 4. Dla y=0 mamy 0=\frac{a}{|x|+1}-1, więc a=|x|+1=5. Kontrolę wykonano wyłącznie z powodu danych nieobecnych w Markdownzie.
a=5.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zweryfikowane skanem