MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 161

Rozpatrujemy przedziały wyznaczone przez miejsca zerowe wyrażeń pod modułami. Po usunięciu modułów otrzymujemy kolejno równania liniowe; rozwiązania niespełniające założenia danego przedziału odrzucamy.

Pierwiastki zapisujemy jako moduły: \sqrt{(x+3)^2}=|x+3|, \sqrt{(x-2)^2}=|x-2| i \sqrt{x^2}=|x|. Następnie dzielimy oś w punktach zerowania się wyrażeń pod modułami i rozwiązujemy równania liniowe.

Po zapisaniu pierwiastków jako modułów rozpatrujemy znaki wyrażeń liniowych. W c suma odległości od 1 i 5 jest zawsze co najmniej 4, a w f lewa strona nie może być większa od prawej.

Jeżeli |u|=a\ge0, to u=\pm a; po każdym takim kroku uwzględniamy, że wewnętrzny moduł jest nieujemny. W c lewa strona jest co najmniej 5, a w e równość wymusza wyzerowanie wewnętrznego modułu.

Sprowadzamy nierówności z podwójnym modułem do warunków na pojedynczy moduł. Przykładowo a daje 1<|x|<5, a f po podstawieniu t=|2x+1| daje t=0 lub t\ge14.

Rozpatrujemy osobno przedziały wyznaczone przez 0 i 1. Po usunięciu modułów równania są liniowe; w c dla x<1 otrzymujemy |2x-1|=1-x, a dla x\ge1 równanie 1=x-1.