MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 16

Dla każdego trójmianu wyznaczamy pierwiastki i sporządzamy tabelę znaków. Kolejne pary miejsc zerowych to: $(-1,\frac13)$, $(-3,\frac12)$, $(\frac14,1)$, $(2-\sqrt5,2+\sqrt5)$, $(-\frac32,2)$, $(\frac{3-\sqrt{29}}{10},\frac{3+\sqrt{29}}{10})$, $(\frac{-5-3\sqrt5}{2},\frac{-5+3\sqrt5}{2})$, $(1-2\sqrt2,1+2\sqrt2)$ oraz $(\frac{3-\sqrt{17}}8,\frac{3+\sqrt{17}}8)$. Uwzględniamy ostrość znaku nierówności.

Rozpoznajemy kwadraty dwumianów albo sprawdzamy znak wyróżnika:

a) $-(x-3)^2<0$, więc wszystkie liczby oprócz $3$; b) $(3x-1)^2\ge0$, więc wszystkie liczby; c) wyróżnik jest ujemny, a współczynnik przy $x^2$ dodatni — wszystkie liczby; d) $(\frac{x}{3}+\frac12)^2\le0$, więc tylko $x=-\frac32$; e) wyróżnik ujemny i ramiona w górę — wszystkie liczby; f) wyróżnik ujemny i ramiona w dół, więc wyrażenie jest zawsze ujemne.

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, redukujemy wyrazy podobne, a następnie rozwiązujemy otrzymaną nierówność kwadratową. Powstają kolejno:

a) $x^2+x-1\ge0$; b) $25x^2-10x+4\le0$; c) $3x^2-3x+1<0$; d) $2x^2-5x+1<0$; e) $2x^2+3x-3\le0$; f) $2x^2-2x-1>0$.

Rozwijamy nawiasy i upraszczamy nierówności. Otrzymujemy odpowiednio:

a) $5x^2-2x<0$; b) $2x^2-5x-3\le0$; c) $3x^2+2x-1\ge0$; d) nierówność prawdziwą dla każdego $x$; e) nierówność prawdziwą dla każdego $x$; f) $x^2+4x-1\le0$.

Po wyznaczeniu miejsc zerowych odczytujemy właściwe przedziały.

Najpierw rozwiązujemy osobno nierówności definiujące zbiory $A$ i $B$, a dopiero potem wykonujemy działania na przedziałach.

a) $A=(2-\sqrt3,2+\sqrt3)$, $B=[0,3]$. b) $A=(-\infty,\frac{-3-\sqrt5}{2})\cup(\frac{-3+\sqrt5}{2},\infty)$, $B=(1,4)$. c) $A=(-\infty,2-\sqrt7)\cup(2+\sqrt7,\infty)$, $B=[-3,4]$.

Pod każdym pierwiastkiem kwadratowym wyrażenie musi być nieujemne. Rozwiązujemy więc odpowiednie nierówności i przecinamy ich zbiory rozwiązań.

a) $(x-3)(x+1)\ge0$ oraz $x\ge0$; b) $(2x-1)(x+4)\ge0$ oraz $x\le1$; c) $(x-3)(x+2)\ge0$ oraz $-4\le x\le4$; d) $(3x-2)(x+3)\ge0$ oraz $0\le x\le4$.