MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 157

Równania liniowe pod modułem rozbijamy na dwa przypadki. W g) i h) otrzymujemy równania kwadratowe $x^2-1=\pm3$ oraz $x^2-3=\pm1$ i pozostawiamy tylko rzeczywiste pierwiastki.

Wszystkie moduły w danym podpunkcie sprowadzamy do wielokrotności jednego czynnika: odpowiednio $|x-2|$, $|2x+3|$, $|x-6|$ i $|x-2|$. Po zsumowaniu współczynników rozwiązujemy zwykłe równanie z jednym modułem.

Dla $a>0$ korzystamy z równoważności $|u|\le a\iff-a\le u\le a$ oraz $|u|>a\iff u<-a$ lub $u>a$. Rozwiązujemy powstałe nierówności liniowe, uważając na zmianę znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną.

Stosujemy definicje nierówności z modułem. Dla prawej strony równej zero w g) moduł ma być dodatni, czyli wykluczamy jego zero; w h) nieujemny moduł może być nie większy od zera tylko wtedy, gdy jest zerem.

Podwójny warunek na $|u|$ oznacza, że jego wartość leży w domkniętym przedziale. Rozpatrujemy dodatni i ujemny zakres $u$; w c) i d) najpierw izolujemy $|x|$.

Sprowadzamy wszystkie moduły do wielokrotności wspólnego czynnika. Po zebraniu stron otrzymujemy pojedynczą nierówność z modułem, np. w d) $6|x+1|\le6$, a w f) obie strony różnią się stałą i warunek jest spełniony dla każdego $x$.