Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 155

rozdział 3. Funkcje wymierne · temat „3.9. Dziedzina funkcji. Funkcje wymierne” · 5 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 4

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Budujemy mianownik mający dokładnie zadane zera, a licznik stały dobieramy z warunku $f(0)=6$ . Nie skracamy żadnego czynnika, więc dziedzina jest dokładnie wskazana.

Odpowiedź

Np. a) $f(x)=-\frac{18}{x-3}$ ; b) $f(x)=-\frac{12}{(x+2)(x-1)}$ ; c) $f(x)=-\frac{36}{(x-1)(x-2)(x-3)}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dziedzina jest całą prostą wtedy, gdy mianownik nie ma zer rzeczywistych. Dla trójmianu kwadratowego wymagamy $\Delta<0$ ; w c) osobno uwzględniamy $k=0$ , gdy mianownik staje się stałą $1$ .

Odpowiedź

a) $k\in(-2,2)$ ; b) $k\in(0,4)$ ; c) $k\in[0,4)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla $f$ zapisujemy $f=x+1/(x+1)$ ; analiza zmian prowadzi do punktów zwrotnych $-2,0$ . Dla $g$ badamy gałęzie rozdzielone przez asymptoty $-3,1$ . Nierówności z poziomem $-3$ i liczby przecięć z prostą $y=m$ można następnie wyznaczyć algebraicznie, a wykresy potwierdzają wyniki.

Odpowiedź

a) $D_f=\mathbb R\setminus\{-1\}$ ; $f$ rośnie na $(-\infty,-2]\cup[0,\infty)$ , maleje na $[-2,-1)$ i $(-1,0]$ ; $f<-3$ dla $x\in(-\infty,-2)\cup(-2,-1)$ . $D_g=\mathbb R\setminus\{-3,1\}$ ; $g$ rośnie na $(-\infty,-3)$ , $(-3,1)$ , $(1,\infty)$ ; $g<-3$ dla $x\in(-3,0)\cup(1,\infty)$ . b) Dla $f(x)=m$ : $0$ rozwiązań dla $-3<m<1$ , $1$ dla $m\in\{-3,1\}$ , $2$ dla $m<-3$ lub $m>1$ . Dla $g(x)=m$ : $1$ dla $m=-3$ , $2$ dla $m\ne-3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy wielomiany. Wszystkie trzy wzory skracają się do $(x+2)/x$ , lecz $f$ zachowuje dodatkową lukę w $x=2$ . Na wspólnej dziedzinie równanie w b) jest tożsamością. W c), oznaczając $u=(x+2)/x$ , mamy $u^2-u=2(x+2)/x^2$ .

Odpowiedź

a) $D_f=\mathbb R\setminus\{0,2\}$ , $f=\frac{x+2}{x}$ ; $D_g=D_h=\mathbb R\setminus\{0\}$ , $g=h=\frac{x+2}{x}$ . b) $x\in\mathbb R\setminus\{0,2\}$ . c) $x\in(-\infty,-2]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po podstawieniu $u=x-1$ otrzymujemy $f=4+3/(u^2-1)$ . Równanie $f=m$ prowadzi do $u^2=(m-1)/(m-4)$ ; liczymy rzeczywiste wartości $u$ , pamiętając o $m=4$ . W b) wstawiamy poziom $|m|$ do uzyskanej klasyfikacji.

Odpowiedź

a) $0$ rozwiązań dla $m\in(1,4]$ , $1$ dla $m=1$ , $2$ dla $m\in(-\infty,1)\cup(4,\infty)$ . b) $0$ dla $m\in[-4,-1)\cup(1,4]$ , $1$ dla $m=\pm1$ , $2$ dla $m\in(-\infty,-4)\cup(-1,1)\cup(4,\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem