Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 154

rozdział 3. Funkcje wymierne · temat „3.9. Dziedzina funkcji. Funkcje wymierne” · 4 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dziedzinę otrzymujemy z zer mianownika, a miejsca zerowe z licznika po odrzuceniu punktów wykluczonych. Czynniki wspólne można skrócić dopiero po zapisaniu dziedziny.

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{-1\}$ , zero $x=1$ ; b) $D=\mathbb R\setminus\{-3,3\}$ , brak miejsc zerowych; c) $D=\mathbb R\setminus\{-\frac12,\frac12\}$ , zera $x=-1,\frac14$ ; d) $D=\mathbb R\setminus\{0,1\}$ , zero $x=5$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dodajemy wzory $f$ i $g$ , zachowując przecięcie ich dziedzin. Zera wynikają z licznika uproszczonej sumy, a znak nieujemności z tabeli znaków uwzględniającej wszystkie pierwotne wykluczenia.

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{-1,2\}$ , zero $x=\frac12$ , $h\ge0$ na $(-1,\frac12]\cup(2,\infty)$ ; b) $D=\mathbb R\setminus\{-\frac13,1\}$ , zero $x=-\frac35$ , $h\ge0$ na $(-\infty,-\frac35]\cup(-\frac13,1)$ ; c) $D=\mathbb R\setminus\{-2,\frac12\}$ , brak zer, $h\ge0$ na $(-\infty,-2)\cup(\frac12,\infty)$ ; d) $D=\mathbb R\setminus\{-2,2\}$ , zero $x=1$ , $h\ge0$ na $(-2,1]\cup(2,\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

2 podpunkty

zweryfikowane skanem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Ze skanu odczytujemy: a) $f=x/(x-1)$ i $g=(2x-2)/(x-2)$ ; b) $f=(2x-3)/(x-2)$ i $g=(2x-9)/(x-4)$ . Porównanie wykonujemy przez znak $f-g$ , a iloczyn przez rozkład jego licznika i mianownika, zachowując wszystkie wykluczenia. W a) argument $x=1$ pozostaje wykluczony mimo skrócenia czynnika $x-1$ .

Odpowiedź

a) $f>g$ na $(1,2)$ ; $fg\le0$ na $[0,1)\cup(1,2)$ . b) $f>g$ na $(2,3)\cup(4,\infty)$ ; $fg\le0$ na $[\frac32,2)\cup(4,\frac92]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zweryfikowane skanem

Ćwiczenie 7

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla iloczynu przecinamy dziedziny $f$ i $g$ . Dla ilorazu dodatkowo wykluczamy zera $g$ . Następnie mnożymy lub odwracamy dzielnik, rozkładamy na czynniki i skracamy.

Odpowiedź

a) $fg=\frac{x-2}{2(x+1)}$ , $D_{fg}=\mathbb R\setminus\{-2,-1\}$ ; $\frac fg=\frac{(x-2)(x+1)}{2(x+2)^2}$ , $D_{f/g}=\mathbb R\setminus\{-2,-1\}$ . b) $fg=\frac{2(2x-1)^2}{(x-2)(x+2)^2}$ , $D_{fg}=\mathbb R\setminus\{-2,2\}$ ; $\frac fg=\frac2{x-2}$ , $D_{f/g}=\mathbb R\setminus\{-2,\frac12,2\}$ . c) $fg=(2x-1)(x-3)$ , $D_{fg}=\mathbb R\setminus\{-3,-\frac12\}$ ; $\frac fg=\frac{(2x-1)(2x+1)^2}{(x-3)(x+3)^2}$ , $D_{f/g}=\mathbb R\setminus\{-3,-\frac12,3\}$ . d) $fg=\frac{(x^2-4)(x^2-4x+5)}{x^3(x+1)}$ , $D_{fg}=\mathbb R\setminus\{-1,0\}$ ; $\frac fg=\frac{(x^2-4)(x+1)}{x(x^2-4x+5)}$ , $D_{f/g}=\mathbb R\setminus\{-1,0\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem