MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 151 — rozwiązania zadań

Zadanie 6

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Badamy znak różnicy $f-g$ . W a) po uproszczeniu jest to $2(1-x)/x$ z punktami krytycznymi $0,1$ . W b) wspólny mianownik $x(x-4)$ prowadzi do punktów $0,1,3,4$ ; tabela znaków wyznacza przedziały, które można również odczytać z położenia wykresów.

Odpowiedź

a) $x\in(0,1]$ ; b) $x\in(0,1]\cup[3,4)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przenosimy prawą stronę na lewą, rozkładamy licznik i mianownik, po czym nanosimy wszystkie zera oraz wykluczenia na oś. Tabela znaków rozstrzyga, które końce są domknięte.

Odpowiedź

a) $(3,4]\cup[5,\infty)$ ; b) $(-\infty,-5]\cup(-\frac72,-3]\cup(-2,\infty)$ ; c) $(-1,0)\cup(2-\sqrt3,2+\sqrt3)$ ; d) $(-2,-\frac1{11})\cup(1,\infty)$ ; e) $[-2,\frac12]\cup(1,\infty)$ ; f) $[-3-\frac32\sqrt2,-\frac32)\cup[-3+\frac32\sqrt2,3)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

3 podpunkty

zweryfikowane skanem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Najpierw rozwiązujemy nierówności definiujące $A$ i $B$ . Następnie wykonujemy działania na przedziałach; punkty, w których jedna z funkcji jest nieokreślona, mogą należeć do różnicy $A\setminus B$ , o ile należą do $A$ .

Odpowiedź

a) $A\cup B=(-\infty,-3]\cup(-2,\infty)$ , $A\cap B=(-1,2)$ , $A\setminus B=(-2,-1]$ ; b) $A\cup B=(-\infty,2)\cup(3,5]$ , $A\cap B=(-\infty,1)$ , $A\setminus B=\varnothing$ ; c) $A\cup B=(-\infty,-1)\cup(-\frac34,-\frac1{10}]\cup[0,\infty)$ , $A\cap B=(\frac52,\infty)$ , $A\setminus B=(-\infty,-1)\cup[0,\frac52]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zweryfikowane skanem

Zadanie 9

9 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy każdą nierówność do pojedynczego ilorazu i rozkładamy licznik oraz mianownik. Uwzględniamy krotności zer w tabeli znaków, a pierwotne zera mianowników pozostają wykluczone nawet po skróceniu.

Odpowiedź

a) $(-\infty,-1)\cup(2,\infty)$ ; b) $[-\frac12,0)$ ; c) $\{0\}\cup(3,\infty)$ ; d) $(-\infty,-4)\cup[1,4)\cup[5,\infty)$ ; e) $(-\infty,-5]\cup(-4,0)\cup(0,4]$ ; f) $(-2,-\frac{\sqrt{10}}2)\cup(-1,0)\cup(\frac{\sqrt{10}}2,\infty)$ ; g) $(-\infty,-\frac72)\cup(-\frac52,-2)\cup(0,\infty)$ ; h) $(-\infty,-1)\cup(0,1)$ ; i) $(-2,0]\cup(2,3]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Łączymy obie strony w jeden iloraz, rozkładamy wszystkie czynniki i badamy znak na przedziałach. Zera licznika dołączamy przy znakach nieostrych, zaś zera wszystkich pierwotnych mianowników wykluczamy.

Odpowiedź

a) $(-\infty,-3)\cup[-\frac52,-2)$ ; b) $(-2,\frac{22}{7}]\cup(4,\infty)$ ; c) $(-\infty,2-2\sqrt2]\cup(-\frac12,3)\cup[2+2\sqrt2,\infty)$ ; d) $(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$ ; e) $(-\infty,\frac{-3-\sqrt{17}}{12}]\cup (-\frac13,\frac{-3+\sqrt{17}}{12}]\cup(\frac13,\infty)$ ; f) $(-\infty,1)\cup[\frac32,\infty)$ ; g) $(-\infty,-2)\cup(-2,-1)\cup(0,\infty)$ ; h) $(-1,0)\cup[1,\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla modułów rozpatrujemy osobno przedziały po obu stronach punktu zmiany znaku. W pozostałych podpunktach przenosimy $g$ na lewą stronę i rozkładamy powstały licznik; we wszystkich przypadkach tabela znaków uwzględnia asymptoty funkcji $f$ .

Odpowiedź

a) $(-\infty,0]\cup[1,2)\cup[4,\infty)$ ; b) $(-\infty,-7]\cup[-5,-4)\cup[-1,\infty)$ ; c) $[1,2)\cup(3,4]$ ; d) $(-\infty,-5]\cup(-3,-2)\cup[0,\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem