Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 146

rozdział 3. Funkcje wymierne · temat „3.7. Równania wymierne” · 7 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy strony do wspólnego mianownika albo mnożymy krzyżowo po zapisaniu założeń. Powstałe równania liniowe lub kwadratowe rozwiązujemy i sprawdzamy, czy pierwiastki nie zerują mianowników.

Odpowiedź

a) $x=-8$ ; b) $x=8$ ; c) $x=2$ ; d) $x=0$ ; e) $x=-1$ ; f) $x=1$ lub $x=2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po usunięciu mianowników otrzymujemy równania kwadratowe. Rozwiązujemy je, lecz zgodnie z poleceniem zachowujemy wyłącznie pierwiastki całkowite i odrzucamy wartości spoza dziedziny.

Odpowiedź

a) $x=-5$ lub $x=3$ ; b) $x=3$ ; c) $x=-3$ ; d) $x=3$ ; e) $x=1$ ; f) brak pierwiastków całkowitych.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy mianowniki, zapisujemy założenia i mnożymy przez najmniejszy wspólny mianownik. Otrzymane równanie upraszczamy, po czym sprawdzamy każde rozwiązanie względem pierwotnych wykluczeń.

Odpowiedź

a) $x=-\frac{11}{2}$ ; b) $x=-6$ ; c) $x\in\mathbb R\setminus\{1\}$ ; d) $x=\frac{-3-3\sqrt2}{2}$ lub $x=\frac{-3+3\sqrt2}{2}$ ; e) $x=2$ lub $x=3$ ; f) $x=-8$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Upraszczamy lewą stronę na jej dziedzinie. W I jest stale równa $3$ , więc nie może być równa $2$ . W II–IV licznik jest dokładnie odpowiednią stałą wielokrotnością mianownika, toteż równość zachodzi dla każdego argumentu z dziedziny.

Odpowiedź

Brak rozwiązań: I. Nieskończenie wiele rozwiązań: II, III i IV.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po zapisaniu dziedziny usuwamy mianowniki. Liczymy pierwiastki powstałego wielomianu i odejmujemy te, które były wykluczone; gdy otrzymujemy tożsamość, rozwiązań jest nieskończenie wiele, a przy sprzeczności — zero.

Odpowiedź

Liczba rozwiązań: a) $1$ ; b) $0$ ; c) nieskończenie wiele; d) $2$ ; e) nieskończenie wiele; f) $1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

9 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy liczniki i mianowniki na czynniki. Bierzemy zera licznika, ale odrzucamy każde, które zeruje pierwotny mianownik; w i) trójmian $2x^2+4x+1$ rozwiązujemy z delty.

Odpowiedź

a) $x=0,5$ ; b) $x=-2,4$ ; c) $x=3$ ; d) $x=-3$ ; e) $x=0$ ; f) $x=-3,0$ ; g) $x=-2,-1$ ; h) $x=4$ ; i) $x=-1-\frac{\sqrt2}{2},\ -1+\frac{\sqrt2}{2},\ 0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy wszystkie mianowniki, zapisujemy ich zera jako wykluczenia i mnożymy równanie przez wspólny mianownik. Redukujemy powstały wielomian i na końcu sprawdzamy dziedzinę.

Odpowiedź

a) $x=0$ lub $x=\frac12$ ; b) $x=\frac{-3-\sqrt{39}}{10}$ lub $x=\frac{-3+\sqrt{39}}{10}$ ; c) brak rozwiązań; d) $x=0$ lub $x=7$ ; e) $x=2$ ; f) $x=\frac27$ ; g) $x=-12$ ; h) $x=-1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem