MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 140 — rozwiązania zadań

Zadanie 9

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po rozkładzie na czynniki skracamy, pamiętając o zerach wszystkich pierwotnych mianowników. W b) po skróceniu pozostaje iloczyn $-(x-1)(x-4)$ , a w c) iloraz dwóch czynników liniowych.

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{-3,-2,0,2\}$ , $\frac{x(x+3)}{2(x+2)}$ ; b) $D=\mathbb R\setminus\{-4,-1\}$ , $-x^2+5x-4$ ; c) $D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}$ , $\frac{x+2}{x-1}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Odwracamy dzielnik, ale wcześniej wykluczamy jego zera oraz zera obu mianowników. Następnie rozkładamy czynniki liniowe i skracamy.

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{0,1\}$ , $\frac92$ ; b) $D=\mathbb R\setminus\{-2,3\}$ , $-\frac{2(x+2)^2}{(x-3)^2}$ ; c) $D=\mathbb R\setminus\{-\frac15,0\}$ , $\frac2x$ ; d) $D=\mathbb R\setminus\{1,\frac32\}$ , $-\frac2{x-1}$ ; e) $D=\mathbb R\setminus\{0,\frac13\}$ , $-\frac{x^2}{4}$ ; f) $D=\mathbb R\setminus\{-2,-1,1,2\}$ , $\frac{x-2}{(x+2)(x-1)}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Ułamek piętrowy traktujemy jako dzielenie. Wykluczamy zera mianowników składowych oraz zera całego dzielnika, odwracamy dolny ułamek i skracamy rozłożone czynniki.

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{-3,-1,3\}$ , $(x+1)(x+3)$ ; b) $D=\mathbb R\setminus\{-4,0,\frac32,4\}$ , $-\frac{2(x+4)}{3(x-4)}$ ; c) $D=\mathbb R\setminus\{-2,\frac12,2\}$ , $\frac{(2x+1)(x-2)}{(x+2)(2x-1)}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 12

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Upraszczamy ilorazy, zachowując wszystkie wykluczenia z wyrażeń wyjściowych i z dzielnika. Wykres jest wykresem uproszczonej funkcji z usuniętymi punktami odpowiadającymi wykluczonym argumentom.

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{0\}$ , $f=-2$ ; b) $D=\mathbb R\setminus\{1\}$ , $f=2$ ; c) $D=\mathbb R\setminus\{0,2\}$ , $f=3$ ; d) $D=\mathbb R\setminus\{-2\}$ , $f=2x$ ; e) $D=\mathbb R\setminus\{0,1\}$ , $f=x^2$ ; f) $D=\mathbb R\setminus\{0\}$ , $f=x^2-4x=(x-2)^2-4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 13

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Jeżeli drugi bok ma długość $b$ , to $P=ab$ . Zatem

=\frac{6}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{x-2}{2}.$$

Odpowiedź

Drugi bok ma długość $\frac3{x+2}$ dla $x>2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 14

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy kolejno ze wzorów $P=ab$ , $a=P/b$ i $b=P/a$ . Po uproszczeniu nakładamy warunek dodatniości obu długości boków; daje on odpowiednio $x>-1$ , $x>-2$ i $x>3$ .

Odpowiedź

Wiersz 1: $P=\frac1{x^2+1}$ , $x>-1$ . Wiersz 2: $a=\frac6{x^2+4}$ , $x>-2$ . Wiersz 3: $b=\frac{x^2+2}{x+3}$ , $x>3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 15

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy wzory skróconego mnożenia i rozkłady sumy lub różnicy sześcianów. Założenia zapisujemy przed skracaniem, na podstawie wszystkich pierwotnych mianowników.

Odpowiedź

a) dla $x\ne-y$ i $x\ne y$ wynik $x$ ; b) dla $x\ne-\frac12y$ , $x\ne-\frac13y$ , $x\ne\frac13y$ wynik $\frac{4x}{3x-y}$ ; c) dla $x\ne-\frac12y$ wynik $\frac3{x^2+y^2}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem