MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 139 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprawdzamy wyłącznie wartość mianownika dla $x=2$ . W a) jest równy $16$ , natomiast w b) oraz c) zeruje się, więc w tych dwóch podpunktach iloraz nie jest określony.

Odpowiedź

a) tak; b) nie; c) nie.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy mianowniki: a) $x^2(x-9)$ ; b) $x^2(x-2)^2$ ; c) $(x-3)(x+2)$ ; d) $x(x-2)(x+1)$ . Z podanej listy wybieramy ich zera.

Odpowiedź

a) $0$ ; b) $0,2$ ; c) $-2,3$ ; d) $-1,0,2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Najpierw zapisujemy zera pierwotnego mianownika jako wykluczenia. Po rozkładzie skracamy wspólne czynniki, a wartość dla $x=-1$ liczymy tylko wtedy, gdy argument pozostał w dziedzinie.

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{0\}$ , $x^3-7x$ , wartość $6$ ; b) $D=\mathbb R\setminus\{-1,0\}$ , $2(x+1)$ , $-1\notin D$ ; c) $D=\mathbb R\setminus\{-1\}$ , $\frac{x-1}{x+1}$ , $-1\notin D$ ; d) $D=\mathbb R\setminus\{2\}$ , $\frac{x+2}{x-2}$ , wartość $-\frac13$ ; e) $D=\mathbb R\setminus\{-3,0,3\}$ , $\frac{x}{x+3}$ , $-\frac12$ ; f) $D=\mathbb R$ , $\frac{x^2-1}{x^2+1}$ , $0$ ; g) $D=\mathbb R\setminus\{0,1\}$ , $\frac{(x^2+1)(x+1)}{x-1}$ , $0$ ; h) $D=\mathbb R\setminus\{-3,-2\}$ , $\frac{2(x+3)}{x+2}$ , $4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zera mianownika wyznaczają dziedzinę. Po sprawdzeniu, że $-1$ i $-2$ są dopuszczalne, podstawiamy je kolejno do każdego wyrażenia i upraszczamy wyniki.

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{-3,0\}$ ; wartości $1,-5$ ; b) $D=\mathbb R\setminus\{-\sqrt2,\sqrt2\}$ ; $-10,1$ ; c) $D=\mathbb R\setminus\{\sqrt[3]2\}$ ; $\frac{16}{3},0$ ; d) $D=\mathbb R\setminus\{-\frac12,4\}$ ; $-\frac15,-1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozwiązujemy równanie „mianownik równy zero” i rozcinamy oś w otrzymanych punktach. Następnie podstawiamy kolejno $-3,1,3$ ; żaden z tych argumentów nie jest wykluczony.

Odpowiedź

a) $D=(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,\infty)$ ; wartości $\frac35,-1,3$ ; b) $D=(-\infty,-\sqrt3)\cup(-\sqrt3,\sqrt3)\cup(\sqrt3,\infty)$ ; $5,-11,5$ ; c) $D=(-\infty,-\frac12)\cup(-\frac12,\frac12)\cup(\frac12,\infty)$ ; $-\frac1{14},\frac12,\frac1{10}$ ; d) $D=(-\infty,-\frac32)\cup(-\frac32,\frac32)\cup(\frac32,\infty)$ ; $\frac53,\frac35,\frac13$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy mianownik, zapisujemy wszystkie jego zera, po czym podstawiamy $x=-2$ . Argument jest dopuszczalny w każdym podpunkcie, więc każdą wartość można obliczyć.

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{-1,2\}$ , $-\frac32$ ; b) $D=\mathbb R\setminus\{-\frac12,\frac12\}$ , $-\frac25$ ; c) $D=\mathbb R\setminus\{-4,0\}$ , $\frac12$ ; d) $D=\mathbb R\setminus\{-1,2\}$ , $\frac14$ ; e) $D=\mathbb R\setminus\{2\}$ , $\frac34$ ; f) $D=\mathbb R\setminus\{0,1\}$ , $-1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dziedziny $A$ i $B$ otrzymujemy osobno z ich mianowników. Iloczyn $A\cdot B$ jest określony dokładnie na przecięciu tych dziedzin, niezależnie od późniejszego skracania czynników.

Odpowiedź

a) $D_A=\mathbb R\setminus\{0,9\}$ , $D_B=\mathbb R\setminus\{-2,0\}$ , $D_{AB}=\mathbb R\setminus\{-2,0,9\}$ ; b) $D_A=\mathbb R\setminus\{-2,2\}$ , $D_B=\mathbb R\setminus\{-2,0,2\}$ , $D_{AB}=\mathbb R\setminus\{-2,0,2\}$ ; c) $D_A=\mathbb R\setminus\{-2,0,2\}$ , $D_B=\mathbb R\setminus\{0,2\}$ , $D_{AB}=\mathbb R\setminus\{-2,0,2\}$ ; d) $D_A=\mathbb R\setminus\{-1,1,2\}$ , $D_B=\mathbb R\setminus\{-2,1\}$ , $D_{AB}=\mathbb R\setminus\{-2,-1,1,2\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

9 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy wielomiany na czynniki i skracamy czynniki wspólne między licznikami i mianownikami. Dziedzinę zapisujemy przed skracaniem jako część końcowej odpowiedzi.

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{0,2\}$ , $\frac3{2x}$ ; b) $D=\mathbb R\setminus\{-\frac32,1\}$ , $-3$ ; c) $D=\mathbb R\setminus\{0,3\}$ , $-\frac3{x^2}$ ; d) $D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}$ , $\frac{x^2}{(x+1)(x^2+1)}$ ; e) $D=\mathbb R\setminus\{-1,\frac12,1\}$ , $\frac{x+1}{2(x-1)}$ ; f) $D=\mathbb R\setminus\{-3,-2,0\}$ , $\frac{(x-2)(x-3)}x$ ; g) $D=\mathbb R\setminus\{-2,2\}$ , $-\frac{x^2}{3}$ ; h) $D=\mathbb R\setminus\{-1,1,2\}$ , $-\frac{(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)}$ ; i) $D=\mathbb R\setminus\{-3,3\}$ , $x+3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem