MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 135

Moduł całej wartości daje wartości nieujemne (lub po znaku minus — niedodatnie), a równanie wyrażenia pod modułem z zerem pokazuje, czy wartość $0$ jest osiągana. Dla funkcji z $|x|$ w mianowniku podstawiamy $t=|x|>0$. We wszystkich podpunktach $x=0$ jest wyłączone.

Rozpisujemy moduł osobno po obu stronach punktu symetrii i korzystamy z monotoniczności funkcji $a/(x-p)+q$. Punkty, w których wyrażenie pod modułem zmienia znak, rozdzielają dodatkowe przedziały monotoniczności w c) i d).

Przesunięcie asymptot z $x=0,y=0$ do $x=-2,y=-3$ oznacza wektor $[-2,-3]$, więc $g(x)=1/|x+2|-3$. Wykres $h=|g|$ otrzymujemy przez odbicie fragmentów ujemnych nad oś $OX$. Dla $k(x)=g(|x|)$ kopiujemy prawą część wykresu $g$ na lewą; ponieważ $|x|+2>0$, $k(x)=1/(|x|+2)-3$.

Podstawiamy $t=|x|\ge0$. Dwa rozwiązania w zmiennej $x$ otrzymujemy dokładnie wtedy, gdy równanie wyznacza $t>0$; dla $t=0$ jest tylko jedno rozwiązanie, a dla $t<0$ nie ma żadnego.

Dla każdego poziomu $m$ rozwiązujemy odpowiednie równanie modułowe. Każda dodatnia wartość $t=|x|$ daje dwa przeciwne argumenty, natomiast w b) brak modułu argumentu sprawia, że każde dopuszczalne równanie liniowo-wymierne daje tylko jeden argument.

Prawa strona $|m|$ jest nieujemna. Funkcja $f=-|2/x-1|+1$ ma maksimum $1$. Dla poziomu $0$ jest jedno przecięcie, dla poziomów z $(0,1)$ dwa, dla poziomu $1$ jedno, a powyżej $1$ żadnego. Przekładamy te warunki z poziomu $|m|$ na parametr $m$.

W każdym podpunkcie poziom wykresu jest równy $m^2$, więc najpierw ustalamy liczbę przecięć dla $u=m^2\ge0$, a następnie zapisujemy warunki względem $m$. W b) po podstawieniu $t=|x|$ liczba dodatnich rozwiązań $t$ zmienia się przy $u=3$ i $u=4$; w c) przy $m=0$ jedna wartość $t$ jest zerem i daje jeden, a nie dwa argumenty.