MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 130

Najpierw wykonujemy dzielenie. Gdy część stała jest całkowita, obie współrzędne punktu są całkowite dokładnie wtedy, gdy $x-p$ jest niezerowym dzielnikiem całkowitym reszty $r$ w postaci $q+r/(x-p)$. Sprawdzamy wszystkie dodatnie i ujemne dzielniki.

Funkcja jest homograficzna, gdy współczynnik przy $x$ w mianowniku jest niezerowy i wyznacznik współczynników licznika oraz mianownika nie znika. Gdy mianownik jest stały, otrzymujemy funkcję liniową; gdy licznik jest proporcjonalny do mianownika — stałą na jej dziedzinie.

W każdym podpunkcie licznik i mianownik mają wspólny czynnik liniowy, który się skraca, ale jego miejsce zerowe pozostaje wyłączone z dziedziny. Otrzymujemy więc wykres funkcji stałej z jednym usuniętym punktem, a nie hiperbolę.

Dzielimy licznik przez $x+3$. Iloraz tworzy składnik stały $q$, a resztę zapisujemy jako licznik ułamka $r/(x+3)$.

a) Z $x+y=xy$ mamy $y(x-1)=x$, więc $y=x/(x-1)$; dla $x=1$ równanie jest sprzeczne. b) Z $xy=2(x+y)$ dostajemy $y(x-2)=2x$. Ponieważ $x,y$ są długościami, wymagamy $x>0$ i $y>0$, co dla $y=2x/(x-2)$ daje $x>2$.