MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 129 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dzielimy licznik przez mianownik. Iloraz jest asymptotą poziomą, a miejsce zerowe mianownika wyznacza asymptotę pionową.

Odpowiedź

a) $f=\frac2{x+3}+2$ , asymptoty $x=-3$ , $y=2$ ; b) $f=\frac1{x-3}-3$ , asymptoty $x=3$ , $y=-3$ ; c) $f=-\frac2{x+2}+4$ , asymptoty $x=-2$ , $y=4$ ; d) $f=-\frac5{x-4}-2$ , asymptoty $x=4$ , $y=-2$ ; e) $f=\frac{1/2}{x+3}+\frac12$ , asymptoty $x=-3$ , $y=\frac12$ ; f) $f=-\frac1{x+1/2}+2$ , asymptoty $x=-\frac12$ , $y=2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po sprowadzeniu do postaci kanonicznej pionowa asymptota wyznacza liczbę wyłączoną z dziedziny, a pozioma — liczbę wyłączoną ze zbioru wartości.

Odpowiedź

a) $f=1+\frac1{x-4}$ , $D=\mathbb R\setminus\{4\}$ , $W=\mathbb R\setminus\{1\}$ ; b) $f=2-\frac1{x-1}$ , $D=\mathbb R\setminus\{1\}$ , $W=\mathbb R\setminus\{2\}$ ; c) $f=-4-\frac3{x+2}$ , $D=\mathbb R\setminus\{-2\}$ , $W=\mathbb R\setminus\{-4\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Znaki wyznaczamy z miejsc zerowych licznika i mianownika, układając je na osi. Punkt zerowy nie należy do zbioru rozwiązań nierówności ostrych, a miejsce zerowe mianownika nie należy do dziedziny.

Odpowiedź

a) $f>0$ na $(-\infty,4)\cup(5,\infty)$ , $f<0$ na $(4,5)$ ; b) $f>0$ na $(-\infty,-3)\cup(-2,\infty)$ , $f<0$ na $(-3,-2)$ ; c) $f>0$ na $(-1,0)$ , $f<0$ na $(-\infty,-1)\cup(0,\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po zapisaniu $f=q+r/(x-p)$ znak $r$ rozstrzyga kierunek monotoniczności: $r>0$ oznacza malejącość na obu częściach dziedziny, a $r<0$ — rosnącość. Funkcja nie jest monotoniczna na sumie obu przedziałów, dlatego podajemy je osobno.

Odpowiedź

a) maleje na $(-\infty,4)$ i $(4,\infty)$ ; b) rośnie na $(-\infty,-1)$ i $(-1,\infty)$ ; c) rośnie na $(-\infty,-2)$ i $(-2,\infty)$ ; d) rośnie na $(-\infty,2)$ i $(2,\infty)$ ; e) rośnie na $(-\infty,2)$ i $(2,\infty)$ ; f) maleje na $(-\infty,\frac12)$ i $(\frac12,\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 5

4 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy wzory do postaci $q+r/(x-p)$ . Dla $x_1<x_2$ leżących po tej samej stronie $p$ różnica wartości ma znak przeciwny do $r$ , ponieważ iloczyn $(x_1-p)(x_2-p)$ jest dodatni. Stąd dla $r>0$ funkcja maleje, a dla $r<0$ rośnie. Otrzymujemy kolejno: $1-7/(x+2)$ , $1+7/(x-4)$ , $2+3/(x+1)$ i $-3-22/(x-5)$ .

Odpowiedź

a) rośnie w $(-2,\infty)$ ; b) maleje w $(-\infty,4)$ ; c) maleje w $(-\infty,-1)$ ; d) rośnie w $(-\infty,5)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 5

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy współrzędne punktu do wzoru i rozwiązujemy równanie z parametrem. Asymptota pionowa wynika z mianownika, a pozioma jest ilorazem współczynników przy $x$ .

Odpowiedź

a) $m=28$ , asymptoty $x=-\frac13$ , $y=-\frac43$ ; b) $m=\frac14$ , asymptoty $x=-2$ , $y=\frac18$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wystarczy wybrać dowolne $a\ne0$ w postaci $f(x)=a/(x-p)+q$ . Najprościej przyjąć $a=1$ ; wtedy wykluczone wartości dziedziny i zbioru wartości są dokładnie zadane.

Odpowiedź

Np. a) $f=\frac1x+1$ ; b) $f=\frac1x-5$ ; c) $f=\frac1{x-1}+4$ ; d) $f=\frac1{x+7}$ ; e) $f=\frac1{x-7}-3$ ; f) $f=\frac1{x-\sqrt2}+\sqrt2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla $(ax+b)/(cx+d)$ asymptota pionowa ma równanie $x=-d/c$ , a pozioma $y=a/c$ .

Odpowiedź

a) $x=-2$ , $y=-2$ ; b) $x=8$ , $y=20$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem