MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 13

Dla trójmianu $ax^2+bx+c$ liczba pierwiastków rzeczywistych zależy od znaku $\Delta=b^2-4ac$: odpowiednio $0,1,2$ dla $\Delta<0,=0,>0$.

W podpunktach a–i otrzymujemy kolejno wyróżniki: $-7,49,112,0,\frac14,20,9,180,-\frac32$. Stąd liczby rozwiązań to odpowiednio $0,2,2,1,2,2,2,2,0$.

Po obliczeniu $\Delta$ stosujemy wzór kwadratowy. Dla przykładu w a) $\Delta=64$, więc $x=\frac{6\pm8}{2}$, czyli $x=-1$ lub $x=7$. Analogiczny rachunek w pozostałych podpunktach daje:

b) $-4,\frac12$; c) $-1,-\frac14$; d) $\frac14$ (podwójny); e) $\Delta=-16$, więc brak rozwiązań; f) $-\frac13,\frac12$; g) $-\frac35,\frac25$; h) $\frac{3\sqrt2}{2}$ (podwójny); i) $\frac13,2$.

Rozwijamy kwadraty i sprowadzamy każde równanie do postaci kwadratowej. Przykładowo a) daje $3x^2=4$, a e) po zastosowaniu różnicy kwadratów daje $3x(x-2)=0$. Otrzymane zbiory rozwiązań:

a) $\{\pm\frac{2\sqrt3}{3}\}$; b) $\{\pm\frac{\sqrt6}{3}\}$; c) $\varnothing$; d) $\{\pm2\sqrt3\}$; e) $\{0,2\}$; f) $\{-\frac15,5\}$; g) $\{\frac12,\frac32\}$; h) $\{-\frac43,\frac23\}$; i) $\{-\frac12,\frac32\}$.

Usuwamy mianowniki, rozwijamy nawiasy i rozwiązujemy powstałe równania kwadratowe. Kolejno otrzymujemy równania równoważne:

a) $x^2=1$; b) $(x-2)(x-3)=0$; c) $x^2=18$; d) równanie o ujemnym wyróżniku; e) $4x^2-10x-5=0$; f) $5x^2-3x-8=0$.

Z postaci iloczynowej odczytujemy pierwiastki, a potem liczymy ich odległość $|x_1-x_2|$:

a) $|-\frac13-\frac12|=\frac56$; b) $|0-\sqrt2|=\sqrt2$; c) pierwiastki $-2\pm\sqrt5$, więc odległość wynosi $2\sqrt5$; d) pierwiastki $\frac{1\pm\sqrt3}{2}$, więc odległość wynosi $\sqrt3$.

W każdym podpunkcie zapisujemy równanie $f(x)=p$ i przenosimy $p$ na lewą stronę. Po rozwiązaniu otrzymanych równań kwadratowych dostajemy:

a) $x^2+4x-21=0=(x-3)(x+7)$; b) $3x^2+11x-4=0$; c) $4x^2-24x+9=0$; d) $x^2+12x+9=0$ (po pomnożeniu przez $3$).

Punkty przecięcia wykresów spełniają $f(x)=g(x)$. Po zrównaniu wzorów i rozwiązaniu równań kwadratowych otrzymujemy:

a) $2x^2-11x+12=0$; b) $\frac16x^2+\frac14x=0$; c) $4x^2-7x+3=0$; d) $8x^2+20x-12=0$.

Liczymy pierwiastki każdego trójmianu i zapisujemy $a(x-x_1)(x-x_2)$. W d), e), g), h) występuje pierwiastek podwójny, a w i) wyróżnik jest ujemny.