MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 126

W postaci $a/(x-p)+q$ liczba $p$ jest wyłączona z dziedziny, a $q$ ze zbioru wartości. Te same liczby wyznaczają pionową i poziomą asymptotę.

Dla całkowitych $p,q$ punkt $(x,y)$ ma obie współrzędne całkowite wtedy, gdy niezerowa liczba całkowita $x-p$ dzieli licznik $a$. Każdy dodatni i ujemny dzielnik daje jeden punkt. W d) najpierw zapisujemy wzór jako $-2/(x-4)+2$.

Z asymptot zapisujemy $f(x)=a/(x-p)+q$. Współczynnik wyznaczamy ze wskazanego punktu za pomocą $a=(y-q)(x-p)$.

Jeśli asymptoty mają równania $x=p$ i $y=q$, to $g(x)=a/(x-p)+q$. Podstawienie punktu $P=(x,y)$ daje wygodny wzór $a=(y-q)(x-p)$.

Osie symetrii hiperboly $a/(x-p)+q$ przechodzą przez jej środek $(p,q)$ i mają nachylenia $1$ oraz $-1$, niezależnie od wartości $a$. Stąd ich równania to $y-q=\pm(x-p)$.

Środek hiperboly jest punktem przecięcia asymptot, czyli $S=(p,q)$. Proste przechodzące przez ten punkt i nachylone pod kątem $45^\circ$ oraz $135^\circ$ mają współczynniki kierunkowe $1$ i $-1$.