MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 122

Na $[1,2]$ funkcja $\frac ax$ jest malejąca dla $a>0$ i rosnąca dla $a<0$, dlatego wartości skrajne osiąga na końcach przedziału. Podstawiamy $x=1$ i $x=2$ w każdym wzorze.

Funkcja $4/x$ jest malejąca na każdym z przedziałów swojej dziedziny. Obrazy końców wyznaczamy przez podstawienie, a przy zbliżaniu się do zera wartości są nieograniczone. Dla półprostych $x\to\pm\infty$ wartości dążą do zera, którego funkcja nie osiąga.

Dla punktu $P=(x,y)$ zachodzi $a=xy$. Następnie liczymy $f(-2\sqrt2)=\frac{a}{-2\sqrt2}$ i usuwamy niewymierność z mianownika.

Z zaznaczonych na skanie punktów obliczamy $a=xy$. a) Punkt $(3,-1)$ daje $a=-3$. Równanie $-3/x=-3$ daje $x=1$. Dla $x<0$ wartości są dodatnie, a dla $x>0$ nierówność $-3/x>-3$ daje $x>1$. b) Punkt $(-2,3)$ daje $a=-6$. Poziom $y=-3$ przecina wykres dla $x=2$, a analogiczna nierówność daje $x>2$ na dodatniej półosi.

Najpierw liczymy $a=xy$. Otrzymujemy kolejno $2,-4,-6$. Na każdym z przedziałów $[-4,-1]$ i $[2,6]$ wartości skrajne funkcji $a/x$ występują na końcach. Porównujemy więc cztery wartości dla każdego współczynnika.

Punkty wspólne spełniają $2x=\frac2x$, więc $x^2=1$. Są to $(1,2)$ i $(-1,-2)$. Ich odległość: $\sqrt{(1+1)^2+(2+2)^2}=\sqrt{20}.$

Przecięcia z $y=x$ spełniają $x^2=a$, więc dla $a>0$ są to $(\sqrt a,\sqrt a)$ i $(-\sqrt a,-\sqrt a)$. Odległość wynosi $2\sqrt{2a}$. Przyrównujemy ją kolejno do podanych długości.