MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 118

Grupujemy: $w(x)=(x-\sqrt2)(4x^2-3).$ Miejsca zerowe to $\sqrt2$ i $\pm\frac{\sqrt3}{2}$, zatem suma ich wartości bezwzględnych wynosi $S=\sqrt2+\sqrt3\approx3{,}146$.

Lewa strona to $(x-1)^2(x-2)(x-6)$. Rozwiązaniem nierówności jest $\{1\}\cup[2,6]$. Liczby całkowite $1,2,3,4,5,6$ mają sumę $21$, a jej kwadrat wynosi $441$.

Rozkładamy wielomian: $12x^3-16x^2+7x-1=(3x-1)(2x-1)^2.$ Pierwiastki to $\frac13$ i $\frac12$, więc najmniejszy ma rozwinięcie $0{,}333\ldots$.

Mamy $x^4+4x^3-4x-1=(x^2-1)(x^2+4x+1).$ Zera w kolejności rosnącej to $-2-\sqrt3,-1,-2+\sqrt3,1$. Wszystkie są jednokrotne; tabela znaków wielomianu o dodatnim współczynniku wiodącym daje dwa domknięte przedziały.

Z twierdzenia Bézouta wymagamy $w(k)=0$: $3k^3-6k^2-4k+8=(k-2)(3k^2-4)=0.$

Pierwiastek dwukrotny $-2$ spełnia $w(-2)=0$ i $w'(-2)=0$. Otrzymujemy $2m-n=16,\qquad4m-n=36,$ skąd $m=10$ i $n=4$.

Po podstawieniu $x=-1$ wyrazy o potęgach parzystych zachowują znak, a wyrazy o potęgach nieparzystych go zmieniają. Wartość $w(-1)$ jest więc różnicą obu sum współczynników. Z założenia wynosi ona $0$.

Ze wzoru $V=\frac13a^2h$: $V(x)=(x+3)^2(x-3)^2=(x^2-9)^2=x^4-18x^2+81.$ Warunki $a>0,h>0$ dają $D=(-3,3)\cup(3,\infty)$. Nierówność $|x^2-9|\le16$ sprowadza się do $x^2\le25$; przecinamy ten zbiór z dziedziną.

Pole ośmiokąta foremnego o boku $x$ wynosi $2(1+\sqrt2)x^2$. Warunek objętości daje $x^2(x+2)=3$, czyli $x^3+2x^2-3=(x-1)(x^2+3x+3)=0.$ Drugi czynnik nie ma zer rzeczywistych, a długość jest dodatnia.