MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 117

Korzystamy z różnicy kwadratów i różnicy sześcianów:

Objętość jest sześcianem długości krawędzi:

Grupujemy wyrazy: $x^3+x^2+8x+8=(x+1)(x^2+8).$ Drugi czynnik jest dodatni dla każdego rzeczywistego $x$.

Rozkładamy: $x^3+2x^2-16x-32=(x+2)(x-4)(x+4).$ Spośród pierwiastków $-4,-2,4$ tylko $-2$ ma wartość bezwzględną mniejszą od $4$.

Objętość jest iloczynem wymiarów: $V(x)=x(2x-4)(x+4)=2x^3+4x^2-16x.$ Dodatniość wymiarów daje $x>2$. Równanie $V(x)=32$ po podzieleniu przez $2$ ma postać $(x+2)(x^2-8)=0$, więc z dziedziny należy tylko $x=2\sqrt2$.

Dzielenie przez $x-3$ daje $w(x)=(x-3)(3x^2+6x+2).$ Dla ilorazu $\Delta=12$, więc jego pierwiastki $\frac{-3\pm\sqrt3}{3}$ są niewymierne.

Liczba $1$ zeruje wielomian. Po podzieleniu przez $x-1$: $2x^2+9x+4=(2x+1)(x+4).$ Wszystkie pierwiastki to $1,-\frac12,-4$, z których całkowite są dwa.

Punkty wspólne spełniają

Z $3a(a+2)(2a+1)=120$ i dodatniości wymiarów otrzymujemy $a=2$, więc pierwszy prostopadłościan ma wymiary $6,4,5$. Z $2b(b+1)(b+2)=120$ dostajemy $b=3$, a drugi ma wymiary $5,4,6$. Są to te same liczby w innej kolejności, więc wzór $2(pq+pr+qr)$ daje równe pola całkowite.