MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 116

Obliczamy $w(2)=2$ oraz $u(2)=2$. Wartości wyrażeń A–D wynoszą kolejno $6,2,4,8$, zatem wartość $4$ daje tylko iloczyn $w(x)u(x)$.

Podstawiamy współrzędne do $w(x)=x^3-x^2+6$. Dla $x=-\frac32$ otrzymujemy $\frac38$, a dla $x=\frac32$ wartość $7\frac18$. Oba punkty z pary D należą do wykresu; w pozostałych parach co najmniej jeden punkt nie spełnia równania.

Najwyższe wyrazy czynników to $-x^3$ oraz $(\sqrt2x)^3=2\sqrt2x^3$. Ich iloczyn ma najwyższy wyraz $-2\sqrt2x^6$.

Wyłączamy $x$: $w(x)=x\left(x^2-(4+2\sqrt3)\right).$ Ponieważ $(1+\sqrt3)^2=4+2\sqrt3$, liczba $1+\sqrt3$ zeruje drugi czynnik.

W odpowiedzi C mamy $(x-1)^2(x^2+6x+9)=(x-1)^2(x+3)^2$. Jedynymi różnymi pierwiastkami są więc $1$ i $-3$; pozostałe równania mają dodatkowe pierwiastki.

Ze skanu odczytujemy zera $0$ i $3$, przy czym $3$ jest zerem podwójnym, oraz punkt $(1,1)$. Stąd $w(x)=ax(x-3)^2$ i z $w(1)=1$ wynika $a=\frac14$. Porównujemy wartości w końcach przedziału oraz ekstremach: $w(-1)=-4$, $w(1)=1$, $w(3)=0$, $w(6)=13{,}5$.

Miejsca zerowe $-4,-3,-2,-1$ mają krotności $4,3,2,1$. Znak zmienia się tylko przy krotności nieparzystej, więc iloczyn jest ujemny dla $x\in(-3,-1)$. Jedyna liczba całkowita tego przedziału, $x=-2$, zeruje iloczyn i nie spełnia ostrej nierówności.

Kwadrat $(4-x)^2$ jest nieujemny. Iloczyn jest niedodatni, gdy $x^2-4\leq0$, czyli dla $x\in[-2,2]$, oraz dodatkowo dla $x=4$, gdy kwadratowany czynnik jest zerem.

Ze wzorów Viète’a dla $ax^3+bx^2+cx+d$ suma trzech pierwiastków wynosi $-\frac ba$. Tutaj $a=2$.