MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 114

Korzystamy z twierdzenia o reszcie.

a) Reszta z dzielenia przez $x-1$ to $w(1)=a-2$. Warunek $a-2=4$ daje $a=6$.

b) Reszta z dzielenia przez $x+2$ to $w(-2)=-11-2a$. Z równania $-11-2a=5$ otrzymujemy $a=-8$.

Rozwijamy wielomian $u$ i porównujemy współczynniki tych samych potęg $x$ z wielomianem $w$.

a) $u=a^2x^2+ax-2$. Porównanie z $9x^2-3x-2$ daje $a=-3$.

b) $u=ax^3+x^2-a^2x-a$. Porównanie współczynników daje $a=2$.

c) Współczynnik przy $x^3$ wymusza $a=-1$; wtedy także wyraz stały i współczynnik przy $x$ są zgodne. Zatem $a=-1$.

Rozkładamy wszystkie czynniki na liniowe i sporządzamy siatkę znaków, uwzględniając krotności zer.

a) $(x+1)(x-2)(x-3)>0$, więc $x\in(-1,2)\cup(3,\infty)$.

b) $(x-1)^5(x+1)^3\le0$, więc $x\in[-1,1]$.

c) Na skanie relacją jest $\ge0$. Iloczyn ma postać $-(x-2)(x-5)(x+1)^2$. Stąd $x\in\{-1\}\cup[2,5]$.

d) $(x-3)^2(x-2)(x-4)\ge0$, więc $x\in(-\infty,2]\cup\{3\}\cup[4,\infty)$.

e) $(x+1)(x-1)^2(x-7)\le0$, więc $x\in[-1,7]$.

f) $(x-6)^2(x-3)(x+5)\le0$, więc $x\in[-5,3]\cup\{6\}$.

Rozkładamy wielomian na czynniki i badamy znak na przedziałach wyznaczonych przez jego rzeczywiste zera.

a) $x(x+5)(x-4)>0$, więc $x\in(-5,0)\cup(4,\infty)$.

b) $x(x-1)(x-2)<0$, więc $x\in(-\infty,0)\cup(1,2)$.

c) $-x^2(x-3)^2\le0$ dla każdego $x\in\mathbb R$.

d) $x^2(3x^2+x+1)<0$ nie ma rozwiązań, ponieważ oba czynniki są nieujemne, a trójmian jest dodatni.

e) $(x+4)(x^2+1)>0$, więc $x\in(-4,\infty)$.

f) $-(x-3)(x^2-2)\le0$, więc $x\in[-\sqrt2,\sqrt2]\cup[3,\infty)$.

g) $(x-1)^2(x+1)(x^2+x+1)\ge0$, więc $x\in[-1,\infty)$.

h) $-(x^2-3)(x+2)(x^2-2x+4)<0$. Ostatni trójmian jest dodatni, zatem $x\in(-2,-\sqrt3)\cup(\sqrt3,\infty)$.

Pole podstawy mnożymy przez długość graniastosłupa.

a) Podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $x$ i $2x$, więc ma pole $x^2$. Zatem $x^2(2x+2)=24.$ Dla $x>0$ równanie ma rozwiązanie $x=2$. Krawędzie opisane na rysunku mają długości $2$, $4$ i $6$ dm, więc najdłuższa ma $6$ dm.

b) Podstawa jest trapezem o podstawach $3x$ i $x$ oraz wysokości $x$, czyli ma pole $2x^2$. Stąd $2x^2(6x+8)=28.$ Dodatnim rozwiązaniem jest $x=1$. Najdłuższą krawędzią jest krawędź boczna długości $6x+8=14$ dm.

Korzystamy z różnicy kwadratów:

$$\begin{aligned} w(n)&=(n^2+3n+1)^2-1\\ &=(n^2+3n)(n^2+3n+2)\\ &=n(n+3)(n+1)(n+2). \end{aligned}$$

Po uporządkowaniu jest to $n(n+1)(n+2)(n+3)$, czyli iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych.

Rozwijamy iloczyn:

$$\begin{aligned} a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) =a[&x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2\\ &+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3]. \end{aligned}$$

Porównanie współczynników z $ax^3+bx^2+cx+d$ daje

$$-a(x_1+x_2+x_3)=b,$$ $$a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=c,$$ $$-ax_1x_2x_3=d.$$

Ponieważ wielomian ma stopień trzeci, $a\ne0$; dzieląc przez $a$, otrzymujemy wszystkie trzy podane związki.