MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 113

Dzielimy przez czynnik odpowiadający podanemu pierwiastkowi, a otrzymany trójmian rozkładamy dalej nad liczbami rzeczywistymi.

a) $(x+2)(x-3)(x-4)$; pozostałe pierwiastki: $3,4$.

b) $(x-4)(x+1-\sqrt2)(x+1+\sqrt2)$; pozostałe: $-1-\sqrt2,-1+\sqrt2$.

c) $(2x-1)(x^2+x+1)$; trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych.

d) $(x-1)(x+2-\sqrt3)(x+2+\sqrt3)$; pozostałe: $-2-\sqrt3,-2+\sqrt3$.

e) $(x-2)^2(x+3)$; pozostałe pierwiastki: $2,-3$.

Szukamy pierwiastka całkowitego, dzielimy przez odpowiadający mu dwumian i rozwiązujemy otrzymane równanie niższego stopnia.

a) $(x-1)(x-2)(x-3)=0$, więc $x=1,2,3$.

b) $(x-7)(x^2+x+2)=0$; trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc $x=7$.

c) $(x+3)(x^2+2x+2)=0$, zatem $x=-3$.

d) $(x-3)(x^2+2x+3)=0$, zatem $x=3$.

e) $(x-5)(2x^2+x+1)=0$, zatem $x=5$.

f) $(x+1)(5x+1)(3x-2)=0$, więc $x=-1,-\frac15,\frac23$.

g) $(x+2)(x-1)(x^2-2)=0$, więc $x=-2,-\sqrt2,1,\sqrt2$.

h) $(x+1)(x-2)(x^2-5)=0$, więc $x=-\sqrt5,-1,2,\sqrt5$.

Sprawdzamy proste kandydatury na pierwiastek, a po podzieleniu kontrolujemy wyróżnik trójmianu.

a) $(2x+1)(x^2+x+2)=0$; trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc $x=-\frac12$.

b) $(2x-1)(x-1)(x+2)=0$, więc $x=-2,\frac12,1$.

c) $(2x-3)(x^2+x+1)=0$, więc $x=\frac32$.

d) $(3x+1)(x^2-2x+2)=0$, więc $x=-\frac13$.

Podzielność przez $x-c$ jest równoważna warunkowi $w(c)=0$.

a) $w(1)=a^3+a=a(a^2+1)$. Dla rzeczywistego $a$ stąd $a=0$.

b) $w(a)=a^3-9a=a(a-3)(a+3)$, więc $a\in\{-3,0,3\}$.

Stosujemy schemat Hornera dla zera odpowiedniego dwumianu.

a) Dla 3 otrzymujemy iloraz $x^2+3x+10$ i resztę $31$.

b) Dla $-\frac12$ otrzymujemy iloraz $x^3-\frac12x^2+\frac54x-\frac58$ i resztę $\frac{21}{16}$.

c) Dla 1 otrzymujemy iloraz $2x^3+x^2-1$ i resztę $5$.

Dzielimy każdy wielomian przez $x+2$. Iloraz jest wielomianem $p$, a reszta jest stałą $r$.

a) $w(x)=(x+2)(x^2-2x+6)-7$.

b) $w(x)=(x+2)(x^2+1)-1$.

c) $w(x)=(x+2)(4x^3-x)$, więc $r=0$.

d) $w(x)=(x+2)(x^2+x-11)+20$.

Z twierdzenia o reszcie reszta z dzielenia przez $x-a$ jest równa $w(a)$.

a) $w(1)=7-1+1=7$.

b) $w(-2)=-16+24-8=0$.

c) $w(2)=-32+12+20=0$.