MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 112

Podstawiamy definicje $w$ i $p$, a następnie redukujemy wyrazy podobne.

a)

$$2(x^3-1)+(1-x)(2x^2+4x+1)=-2x^2+3x-1,$$

więc $deg u=2$.

b)

$$(x^3-1)^2-\frac{x^4}{2}(2x^2+4x+1) =-2x^5-\frac12x^4-2x^3+1,$$

zatem $deg u=5$.

Wyłączamy wspólny czynnik, a potem korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia.

a) $3x^2(x^2-1)=3x^2(x-1)(x+1)$.

b) $2x(x^2+2x+1)=2x(x+1)^2$.

c) $x^4(x^2+7x+6)=x^4(x+1)(x+6)$.

d) $5x(x^4-2x^2+1)=5x(x-1)^2(x+1)^2$.

e) $-3x(x^2-5)^2=-3x(x-\sqrt5)^2(x+\sqrt5)^2$.

f) $2x^2(4x^2-1)^2=32x^2(x-\frac12)^2(x+\frac12)^2$.

Korzystamy kolejno z warunków $w(-1)=4$ i $w(0)=3$.

a) Z $w(0)=\frac b2=3$ mamy $b=6$. Po podstawieniu $x=-1$ dostajemy $a=4$.

b) Warunki dają układ $a-6b=3$ oraz $2a-6b=1$. Po odjęciu równań $a=-2$, a następnie $b=-\frac56$.

Wyłączamy największą możliwą potęgę $x$ i rozkładamy pozostały czynnik.

a) $x^2(2x^2+x+5)=0$; trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc $x=0$.

b) $-2x(x+4)(x-1)=0$, więc $x\in\{-4,0,1\}$.

c) $x^3(x-3)(x-4)=0$, więc $x\in\{0,3,4\}$.

d) $x^4(5x-1)(4x+1)=0$, więc $x\in\{-\frac14,0,\frac15\}$.

e) $x^3(2x-1)^2=0$, więc $x\in\{0,\frac12\}$.

f) $-x^4(2x-1)(x+1)=0$, więc $x\in\{-1,0,\frac12\}$.

Stosujemy grupowanie albo wzory na sumę i różnicę sześcianów.

a) $(x-2)(x^2-2)$, zatem pierwiastki to $-\sqrt2,\sqrt2,2$.

b) $x(x+1)(x-2)(x+2)$, więc pierwiastki: $-2,-1,0,2$.

c) $(5x+1)(x^2-3)$, więc: $-\sqrt3,-\frac15,\sqrt3$.

d) $(5x-3)(25x^2+15x+9)$; trójmian jest dodatni, więc jedyny pierwiastek rzeczywisty to $\frac35$.

e) $27x(x+\frac16)(x^2-\frac16x+\frac1{36})$; trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc pierwiastki to $-\frac16,0$.

f) $-14x(x-\frac{\sqrt2}{2})(x+\frac{\sqrt2}{2})$, więc pierwiastki to $-\frac{\sqrt2}{2},0,\frac{\sqrt2}{2}$.

Rozkładamy lewą stronę na czynniki. Liczbę rozwiązań liczymy w otwartym przedziale $(-\frac12,\frac32)$, więc końców nie zaliczamy.

a) $(x-2)(x^2+1)=0$: pierwiastek $2$; w przedziale 0.

b) $(x+5)(x-1)(x+1)=0$: $-5,-1,1$; w przedziale 1.

c) $(2x+1)(x-2)(x+2)=0$: $-2,-\frac12,2$; w przedziale 0.

d) $(x-1)(x-3)(x+3)=0$: $-3,1,3$; w przedziale 1.

e) $(9x-1)(3x-1)(3x+1)=0$: $-\frac13,\frac19,\frac13$; w przedziale 3.

f) $(x+1)(x-2)(x^2+2x+4)=0$: $-1,2$; w przedziale 0.

g) $(8x+1)(x+2)(x^2-2x+4)=0$: $-2,-\frac18$; w przedziale 1.

h) $(x-1)(x^2+x+1)(2x-1)(2x+1)=0$: $-\frac12,\frac12,1$; w przedziale 2.

Liczba $a$ jest pierwiastkiem dokładnie wtedy, gdy $w(a)=0$.

a) $w(2)=16m+10=0$, stąd $m=-\frac58$.

b) $w(3)=6m-22=0$, stąd $m=\frac{11}{3}$.

c) $w(-2)=-2m^2+4m+6=0$, czyli $m^2-2m-3=0$. Stąd $m=-1$ lub $m=3$.