MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 107

Niech wysokość prostopadłościanu będzie równa $h$. Suma krawędzi wynosi $8x+4h=40$, więc $h=10-2x$. Objętość: $V(x)=x^2(10-2x)=-2x^3+10x^2.$ Warunki $x>0$ i $h>0$ dają dziedzinę $(0,5)$.

Dla $V=36$: $-2x^3+10x^2-36=-2(x-3)(x^2-2x-6)=0.$ Z równania otrzymujemy $x=3$ oraz $x=1\pm\sqrt7$; w dziedzinie leżą $3$ i $1+\sqrt7$.

Skan pokazuje, że akwarium ma długość $2x$, szerokość $x$ i pełną wysokość $x$. Woda sięga do wysokości $x-0{,}5$. Ponieważ $112\ \mathrm l=112\ \mathrm{dm}^3$, mamy

\iff x^2(2x-1)=112.$$ Wielomian $2x^3-x^2-112=(x-4)(2x^2+7x+28)$ ma jedyny dodatni pierwiastek $x=4$.

Objętość klocka: $V(x)=(2x)(2x)(7-x)=-4x^3+28x^2,$ a dodatniość wymiarów daje $0<x<7$.

a) Podstawienie $x=\frac12,1,\frac32,2,\frac52$ daje odpowiednio $6\frac12,24,49\frac12,80,112\frac12$ cm$^3$.

b) $0{,}2\ \mathrm{dm}^3=200\ \mathrm{cm}^3$. Równanie $4x^2(7-x)=200$ ma rozkład $(x-5)(x^2-2x-10)=0,$ więc w dziedzinie $x=5$ lub $x=1+\sqrt{11}$. Pole całkowite prostopadłościanu upraszcza się do $P_c=2\left(4x^2+4x(7-x)\right)=56x.$

Z rysunku: szerokość frontu wynosi $2x$, wysokość ściany $x$, a wysokość trójkąta dachu $5-x$. Jeśli długość domku to $y$, obwód podstawy daje $2(2x+y)=32$, czyli $y=16-2x$. Pole przekroju frontowego: $2x\cdot x+\frac12\cdot2x(5-x)=x^2+5x.$ Stąd $V(x)=(x^2+5x)(16-2x)=-2x^3+6x^2+80x.$ Warunki dodatniości i dachu dają $0<x<5$.

Dla $V<240$: $-2x^3+6x^2+80x-240=-2(x-3)(x^2-40)<0.$ W dziedzinie czynnik $x^2-40$ jest ujemny, więc nierówność zachodzi dla $0<x<3$.

Objętość pudełka wynosi $x^2(2x-1)$. Warunek $x^2(2x-1)>162$ ma postać $(2x-9)(x^2+4x+18)>0.$ Trójmian jest dodatni, więc $x>\frac92$.

Z rysunku odczytujemy promień koła jako odległość środka kwadratowej podstawy od zewnętrznego narożnika jednej ścianki. Składowe tej odległości to $\frac x2$ i $\frac x2+(2x-1)=\frac{5x}{2}-1$. Zatem

\left(\frac{5x}{2}-1\right)^2=\frac{13x^2-10x+2}{2}.$$ Dla $x>\frac92$ wyrażenie rośnie, a na brzegu przyjmuje wartość $110{,}125$.