MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 106

Początkowa objętość wynosi $5\cdot6\cdot8=240$. Po zwiększeniu krawędzi objętość ma być równa $240+320=560$, zatem $(x+5)(x+6)(x+8)=560.$ Po rozwinięciu:

=(x-2)(x^2+21x+160).$$ Trójmian ma ujemny wyróżnik, a długość przyrostu nie może być ujemna, więc pozostaje $x=2$.

Po wycięciu kwadratów wysokość pudełka wynosi $x$, a boki podstawy $30-2x$ i $40-2x$. Stąd $V(x)=x(30-2x)(40-2x)=4x^3-140x^2+1200x.$ Wszystkie wymiary mają być dodatnie, więc $0<x<15$.

b) Z wykresu podręcznika odczytujemy w przybliżeniu $x\approx5$ cm. Daje to pudełko o wymiarach około $5\times20\times30$ cm.

c) $V(10)=10\cdot10\cdot20=2000$, natomiast $V(2{,}5)=2{,}5\cdot25\cdot35=2187{,}5$. Zatem podana nierówność nie jest spełniona.

Wysokość pudełka to $x$, a bok kwadratowej podstawy $12-2x$: $V(x)=x(12-2x)^2=4x^3-48x^2+144x,\qquad 0<x<6.$

b) Bezpośrednie podstawienie daje kolejno $V(1)=100$, $V(2)=128$, $V(3)=108$, $V(4)=64$, $V(5)=20$.

c) Ze skanu wykresu: w przybliżeniu $x\in(0,\frac12]\cup[4,6)$.

d) Rozwiązujemy $V(x)-64=4(x-4)(x^2-8x+4)\le0.$ Zera to $4-2\sqrt3$, $4$ i $4+2\sqrt3$; ostatnie leży poza dziedziną. Siatka znaków przecięta z $(0,6)$ daje wynik dokładny.