MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 104

Rozwiązujemy osobno nierówności definiujące $A$ i $B$.

a) $A=(-2,0)\cup(2,\infty)$, bo $x^3-4x=x(x-2)(x+2)$. Ponadto $B=(-\infty,-3]\cup[1,3]$, gdyż $x^3-x^2-9x+9=(x-1)(x-3)(x+3)$. Stąd wykonujemy przecięcie i różnicę.

b) $A=(-4,0)\cup(0,4)$, a z rozkładu $(x^2-1)(x^2-4)$ mamy $B=(-\infty,-2]\cup[-1,1]\cup[2,\infty)$.

c) $3x^3-x^2-6x+2=(3x-1)(x^2-2)$, więc $A=(-\infty,-\sqrt2]\cup[\frac13,\sqrt2]$. Z nierówności $x-x^2>2x^3$ otrzymujemy $B=(-\infty,-1)\cup(0,\frac12)$.

W każdym podpunkcie tworzymy dwa zbiory i bierzemy ich część wspólną.

a) $f>g$ jest równoważne $-x(3x+2)(x+2)>0$, czyli $(-\infty,-2)\cup(-\frac23,0)$. Z kolei $g\ge h$ daje $x(2x+1)^2\ge0$, czyli $\{-\frac12\}\cup[0,\infty)$. Przecięcie to $\{-\frac12\}$.

b) $f>g$ po wyłączeniu dodatniego trójmianu daje $x(x-1)>0$, zatem $(-\infty,0)\cup(1,\infty)$. Warunek $g\ge h$ ma postać $-(x+3)(x^2-3)\ge0$, stąd $(-\infty,-3]\cup[-\sqrt3,\sqrt3]$.

c) $f>g$ daje $x(2x-3)(x-1)>0$, czyli $(0,1)\cup(\frac32,\infty)$. Warunek $g\ge h$ to $-(x-1)(3x-1)(x+1)\ge0$, czyli $(-\infty,-1]\cup[\frac13,1]$.

a) Warunek $x^3\le x$ zapisujemy jako $x(x-1)(x+1)\le0.$ Siatka znaków dla zer $-1,0,1$ daje rozwiązanie.

b) Warunek $x^3\le x^2$ ma postać $x^2(x-1)\le0.$ Czynnik $x^2$ jest nieujemny, więc iloczyn jest niedodatni dla $x\le1$.

Podstawiamy podane $a$ do $f(a)=0$, a potem rozkładamy otrzymany wielomian.

a) $m=-4$ i $f=(x+2)(x-1)(x-2)$.

b) $m=0$ i $f=(x-1)(x+2)^2$.

c) $m=\frac73$ i $f=(x+1)(-5x^2+3x-2)$; trójmian jest zawsze ujemny.

d) $m^2=4$, więc $m=\pm2$, a w obu przypadkach $f=(x+2)(x+1)(x-3)$.

Z siatki znaków odczytujemy zbiory, w których $f\ge0$.

Pod pierwiastkiem wymagana jest wartość nieujemna, a w mianowniku pod pierwiastkiem — dodatnia. Po rozkładzie odpowiednich wielomianów:

a) $x^2(x-4)\ge0$ oraz $25-x^2\ge0$.

b) $x(x-2)(x+2)>0$ oraz $x^2-9\ge0$.

c) $(x^2-2)(x^2-4)\ge0$.

d) $x^2(x+1)\ge0$ oraz $x(x-4)(x+4)\ge0$.

e) $x(x-3)(x-4)\ge0$ oraz $x^4-16>0$.

f) $(3x^2-2)^2>0$ oraz $-4x^4+17x^2-4>0$. Drugi warunek jest równoważny $\frac14<x^2<4$, a pierwszy wyklucza $x=\pm\frac{\sqrt6}{3}$.

Ze skanu odczytujemy punkty przecięcia wykresów $u$ i $w$: $x=-2,-1,2,3$, a następnie porównujemy ich położenie. Wykres $u$ leży niżej niż $w$ dla $x<-2$, $-1<x<2$ oraz $x>3$.

Do iloczynu odczytujemy znaki obu funkcji. Iloczyn jest dodatni dla $x<-1$, $1<x<3$ i $x>3$. Jest niedodatni na $[-1,1]$ oraz w ich wspólnym zerze $x=3$.