MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 103

Po przeniesieniu wyrazów na jedną stronę otrzymujemy:

a) $x(3x-2)(3x+2)>0$; b) $x^2(4x+3)\ge0$; c) $x(x-2)^2\le0$; d) $x(x-2)(x^2+2x+4)<0$; e) $x^2(x^2-8)\le0$; f) $x^3(1-8x)>0$; g) $x(2x-1)(x+3)>0$; h) $-x(x-1-\sqrt5)(x-1+\sqrt5)\le0$; i) $x^2(x^2+5x-2)\ge0$.

Czynniki kwadratowe bez zer rzeczywistych nie zmieniają znaku; pozostałe rozpatrujemy w zwykłej siatce znaków.

Stosujemy grupowanie wyrazów:

a) $(x+\sqrt2)(x-1)(x+1)\le0$; b) $(x+3)(2x-1)(2x+1)>0$; c) $(2x-3)(x^2-5)\le0$; d) $\frac16(3x+1)(x^2-12)<0$; e) $(x-5)(x+1)(x^2-x+1)<0$; f) $(x+2)(x^3-6)\ge0$; g) $x^2(2x-3)(3x^2+2)>0$; h) $\sqrt3x^2(x-\sqrt2)(x^2-\sqrt2)\ge0$.

W e) oraz g) ostatnie trójmiany są zawsze dodatnie. Następnie stosujemy siatkę znaków do czynników liniowych lub monotonicznego $x^3-6$.

Sprowadzamy każdą nierówność do iloczynu:

a) $(x+1)(x-2)(x^2+2)\le0$; b) $(x+5)(x^2+x+1)>0$; c) $-(x-3)(x^2+x-1)>0$; d) $(x-2)^3\le0$; e) $(x+1)^2(3x^2-x-1)<0$; f) $(x+2)(2x-1)(x-1)^2>0$; g) $(4x^2+1)(x^2-1)<0$; h) $(x^2-4)(x^2-9)\ge0$.

Czynniki $x^2+2$, $x^2+x+1$ i $4x^2+1$ są dodatnie, co upraszcza siatki znaków.

Najpierw znajdujemy pierwiastek całkowity, a potem rozkładamy iloraz.

a) $w=(x+1)(x^2+2x-1)$, więc zera to $-1-\sqrt2,-1,-1+\sqrt2$.

b) $w=(x+4)(x^2+4x+1)$, więc zera to $-4,-2-\sqrt3,-2+\sqrt3$ (w tej kolejności: $-4<-2-\sqrt3$).

c) $w=(x-3)(x^2+x+1)$; trójmian jest dodatni, więc jedyne zero to 3.

d) $w=-x(x-2)(x^2+4)$; ostatni czynnik jest dodatni.

Znak na przedziałach wyznaczamy od prawej strony i zmieniamy w każdym zerze jednokrotnym.