MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 101

Zera $-2,1,3$ są jednokrotne. Ponieważ współczynnik wiodący jest ujemny, dla $x>3$ wielomian jest ujemny, a znak zmienia się przy każdym zerze. Otrzymujemy kolejno znaki $+,-,+,-$ na przedziałach wyznaczonych przez zera.

Zera to $-1$ dwukrotne oraz $1,4$ jednokrotne. Współczynnik wiodący jest dodatni. Znak jest dodatni dla $x<1$ (poza zerem $-1$), ujemny na $(1,4)$ i dodatni dla $x>4$.

Zera $-3$ i $2$ są dwukrotne, a $-1$ jednokrotne. Dla $x>2$ wielomian jest ujemny. Znak nie zmienia się w $2$, zmienia w $-1$ i nie zmienia w $-3$. Stąd jest dodatni dla $x<-1$ z wyjątkiem zera $-3$, a ujemny dla $x>-1$ z wyjątkiem zera $2$.

Rozkładamy trójmiany i stosujemy siatkę znaków.

a) Zera $-4,-2,5$ są jednokrotne; znak ujemny występuje na $(-\infty,-4)\cup(-2,5)$.

b) Zera $-4,5$ są jednokrotne, a $-2$ dwukrotne; przy ujemnym współczynniku wiodącym wynik to $(-\infty,-4)\cup(5,\infty)$.

c) $\frac45(x+3)^2(x-2)\ge0$ dla $x\ge2$, a ponadto w izolowanym zerze $x=-3$.

d) $-\frac12(x-5)^2(x+2)^2$ jest zawsze niedodatni, więc jest nieujemny tylko wtedy, gdy wynosi 0.