MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 100

Stopień 5 i współczynnik $a_5=-1$ uzyskujemy, mnożąc czynniki odpowiadające zerom przez $-1$.

a) Wszystkie zera $-3,-2,-1,0,1$ są jednokrotne: $w(x)=-x(x+3)(x+2)(x+1)(x-1).$

b) Zera $-3,-2,1$ są jednokrotne, a $-1$ dwukrotne: $w(x)=-(x+3)(x+2)(x+1)^2(x-1).$

c) Zero $-4$ jest jednokrotne, a $-2$ i $0$ dwukrotne: $w(x)=-x^2(x+4)(x+2)^2.$

Tworzymy siatkę znaków z uporządkowanych zer. W zerze dwukrotnym znak się nie zmienia.

a) $(x-4)^2(x+3)<0$ dla $x<-3$.

b) Zera mają kolejność $-\sqrt5<-2<\sqrt5$; wynik: $(-\infty,-\sqrt5)\cup(-2,\sqrt5)$.

c) Zera $-1,1,3$ są jednokrotne, a współczynnik wiodący ujemny; wynik $(-1,1)\cup(3,\infty)$.

d) Zero 0 jest dwukrotne, a $-1,6$ jednokrotne; wynik $(-1,0)\cup(0,6)$.

e) $-3(x+2)(x-2)^3<0$ poza skrajnymi zerami; wynik $(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$.

f) $(x+3)^4\ge0$, więc nie przyjmuje wartości ujemnych.

Rozkładamy czynniki i przechodzimy po osi przez kolejne zera, pamiętając, że przy krotności parzystej znak się nie zmienia.

a) Zera $2,3$ są nieparzyste, a $4$ parzyste: $(-\infty,2]\cup[3,\infty)$.

b) Wielomian jest niedodatni, więc wartość nieujemną ma tylko w zerach: $\{-2,-1,0\}$.

c) $6x^3(x-1)(x-6)\ge0$ dla $[0,1]\cup[6,\infty)$.

d) Po rozkładzie zera to $-2$ (dwukrotne), $0,2$ oraz $3$ (trzykrotne); wynik $(-\infty,0]\cup[2,3]$.

e) Czynnik $x^2+3$ jest dodatni, więc znak wyznacza $-(3-x^2)(3-x)^2$; wynik $(-\infty,-\sqrt3]\cup[\sqrt3,\infty)$.

f) Zera $-\frac13$, $\frac13$ (trzykrotne) i $3$ dają $[-\frac13,\frac13]\cup[3,\infty)$.

Wykres $v(x)=w(-x)$ jest odbiciem wykresu $w$ względem osi $OY$. Ze skanu odczytujemy zera i jeden punkt, wyznaczamy postać iloczynową $w$, a następnie podstawiamy $-x$.

a) $w(x)=\frac14(x+2)(x+1)(x-2)$, stąd $v(x)=-\frac14x^3+\frac14x^2+x-1.$

b) $w(x)=-\frac23x^2(x-2)$, więc $v(x)=\frac23x^3+\frac43x^2.$

c) $w(x)=\frac13(x+1)(x-3)^2$, zatem $v(x)=-\frac13x^3-\frac53x^2-x+3.$