MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 96

a) Liczby $19^{16}$ i $9^{16}$ dają te same reszty modulo $5$, $7$ i $8$: modulo $5$ obie podstawy są równe $-1$; modulo $7$ mamy $19^2\equiv9^2\equiv4$; każda nieparzysta liczba podniesiona do parzystej potęgi co najmniej $2$ jest równa $1$ modulo $8$. Różnica dzieli się zatem przez parami względnie pierwsze liczby $5,7,8$, a więc przez $280$.

b) Modulo $8$ obie potęgi są równe $1$. Modulo $9$ mamy $11\equiv2$ i $7\equiv-2$, a wykładnik $32$ jest parzysty, więc potęgi są przystające. Różnica dzieli się przez $8\cdot9=72$.

Dla $a,b>0$ średnia harmoniczna ma postać $H=2ab/(a+b)$.

a) Po pomnożeniu $H\le(a+b)/2$ przez dodatnie $2(a+b)$ otrzymujemy $4ab\le(a+b)^2$, czyli $(a-b)^2\ge0$.

b) Po pomnożeniu $H\le\sqrt{ab}$ przez dodatnie $a+b$ i podzieleniu przez $\sqrt{ab}$ otrzymujemy $2\sqrt{ab}\le a+b$, czyli $(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0$.

Sprowadzamy lewe strony do sum kwadratów:

a) $y^2+2x^2-2xy-6x+9=(x-y)^2+(x-3)^2\ge0$.

b) $5x^2+y^2+4-4xy-4x=(2x-y)^2+(x-2)^2\ge0$.

Każdy składnik jest kwadratem liczby rzeczywistej, więc obie nierówności są prawdziwe dla dowolnych $x,y$.