MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 95

Mnożymy przez wyrażenie sprzężone, a następnie oceniamy znak i przybliżoną wartość:

a) $(\sqrt3-1)/2\in(0,4)$; b) $(3+\sqrt2)/7\in(0,4)$; c) $3(\sqrt5-2)\in(0,4)$; d) $-2(1+2\sqrt2)/7\notin(0,4)$; e) $4\sqrt3-6\in(0,4)$; f) $16+12\sqrt2\notin(0,4)$; g) $\sqrt6+\sqrt5\notin(0,4)$; h) $2(\sqrt5-\sqrt3)\in(0,4)$; i) $2(\sqrt7+\sqrt2)\notin(0,4)$; j) $\sqrt6-2\in(0,4)$; k) $-(\sqrt3+3\sqrt2)/5\notin(0,4)$; l) $(1+2\sqrt2)/7\in(0,4)$.

Rozwijamy wzory skróconego mnożenia:

a) $x^2-25=x^2-100x$, więc $x=1/4$.

b) $80/9-20x/3=2/9$, więc $x=13/10$.

c) Obie strony są równe $(x-6)^2$, zatem rozwiązaniem jest każdy $x$.

d) Lewa strona daje $20x+15$, co prowadzi do sprzeczności $15=10$.

e) $52-8x/3=4$, więc $x=18$.

f) Lewa strona upraszcza się do $17-16\sqrt2x$, stąd $x=1/\sqrt2=\sqrt2/2$.

Po redukcji wyrazów kwadratowych otrzymujemy nierówności liniowe:

a) $11-4x\ge2$, zatem $x\le9/4$; b) $4x^2-12x+9>4x^2-12x+1$, prawdziwa dla każdego $x$; c) $(8+4\sqrt2)x+4\ge0$, zatem $x\ge(\sqrt2-2)/2$; d) $36x-37\le11$, zatem $x\le4/3$; e) $x+17/4\ge0$, zatem $x\ge-17/4$; f) $x^2/2-1<(x-1)^2/2$, zatem $x<3/2$.

Każdy składnik mnożymy przez sprzężenie mianownika:

$$\frac1{\sqrt k+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt k.$$

Suma teleskopowa ma więc postać $(\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\cdots+(10-\sqrt{99})=10-1=9.$

Kolejno mnożymy przez odpowiednio dobrane wyrażenia sprzężone.

a) Po pomnożeniu najpierw przez $\sqrt2-\sqrt3+1$, a następnie przez $\sqrt3+1$, otrzymujemy $(\sqrt6+\sqrt2-2)/4$.

b) Mnożymy przez $1+\sqrt2+\sqrt3$, a pozostały mianownik usuwamy przez $1-\sqrt3$. Wynik to $(2-\sqrt2+\sqrt6)/2$.

c) Mnożymy przez $\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5$. Mianownik jest równy $2\sqrt6$, po czym usuwamy $\sqrt6$.

Mnożymy odwrotność przez wyrażenie sprzężone:

$$\frac1{\sqrt{1+x^2}+x}\cdot \frac{\sqrt{1+x^2}-x}{\sqrt{1+x^2}-x} =\frac{\sqrt{1+x^2}-x}{1+x^2-x^2}.$$

Mianownik jest równy $1$, co kończy dowód.

Oznaczmy $\varphi=(1+\sqrt5)/2$. Bezpośrednio $\varphi^2=\varphi+1$. Z założenia $x/y=\varphi$, więc $y/x=1/\varphi$. Stąd

$$\frac{x+y}{x}=1+\frac yx=1+\frac1\varphi =\frac{\varphi+1}{\varphi}=\frac{\varphi^2}{\varphi}=\varphi=\frac xy.$$