MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 92

Rozwijamy kwadraty lub stosujemy różnicę kwadratów:

a) $6$; b) $(4-2\sqrt3)-(7-4\sqrt3)=2\sqrt3-3$; c) $-4\cdot2\sqrt3\cdot\frac32=-12\sqrt3$; d) $4\cdot\frac13\cdot3\sqrt2=4\sqrt2$; e) $11-1=10$; f) $1+(11-2\sqrt{30})=12-2\sqrt{30}$; g) $30-20\sqrt2-(-19)=49-20\sqrt2$; h) $18-12\sqrt2-49=-31-12\sqrt2$.

Łączymy iloczyn pierwiastków w jeden pierwiastek i stosujemy różnicę kwadratów:

a) $\sqrt{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}=\sqrt1=1$; b) $\sqrt{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}=1$; c) $\sqrt{(\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt7+\sqrt3)}=\sqrt4=2$; d) $\sqrt{(4-2\sqrt3)(4+2\sqrt3)}=\sqrt4=2$.

Pole całkowite sześcianu wynosi $6a^2$.

a) $6(3+\sqrt2)^2=6(11+6\sqrt2)=66+36\sqrt2$.

b) $6(2\sqrt3-1)^2=6(13-4\sqrt3)=78-24\sqrt3$.

c) $6(\sqrt6+\sqrt2)^2=6(8+4\sqrt3)=48+24\sqrt3$.

Przeciwprostokątną wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa.

a) $a+b=8$, a $a^2+b^2=36$, więc $c=6$ i obwód wynosi $14$.

b) $a+b=12-\sqrt2$, natomiast $a^2+b^2=(66+16\sqrt2)+(24-16\sqrt2)=90$, więc $c=3\sqrt{10}$.

Po podniesieniu sumy lub różnicy do kwadratu otrzymujemy:

a) $8+2\sqrt{(4-\sqrt7)(4+\sqrt7)}=8+6=14$; b) $2\sqrt5-2\sqrt{(2+\sqrt5)(\sqrt5-2)}=2\sqrt5-2$; c) $10+2\sqrt{25-24}=12$; d) $2\sqrt7-2\sqrt{7-3}=2\sqrt7-4$.

Najpierw upraszczamy wyrażenia symbolicznie.

a) Wyrażenie jest równe $12xy-18y^2$. Mamy $xy=\sqrt{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=1$ i $y^2=\sqrt{10}+3$, więc wynik to $-42-18\sqrt{10}$.

b) Różnica kwadratów upraszcza się do $2(x^2-y^2)$. Dla podanych $x,y$ mamy $x^2-y^2=8\sqrt3$, zatem wynik to $16\sqrt3$.

c) Po redukcji otrzymujemy $-2\sqrt6xy+8y^2$. Ponieważ $y=\sqrt6$, wynik to $-12(\sqrt5-4)+48=96-12\sqrt5$.

d) Liczby $x^2-4y^2$ i $4y^2-x^2$ są przeciwne, więc ich kwadraty są równe. Różnica wynosi $0$.

a) $(n+1)^2-n^2=2n+1$, czyli liczba nieparzysta.

b) $(2n+1)^2=4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1$, więc jest nieparzysta.

c) $(n+\frac12)^2-(n-\frac12)^2=2n$, czyli liczba parzysta.

d) $n^3-n=n(n-1)(n+1)$. Jest to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, z których jedna dzieli się przez $3$, a co najmniej jedna przez $2$. Iloczyn dzieli się zatem przez $6$.

Traktujemy $a+b$ jako jeden składnik:

$$(a+b+c)^2=((a+b)+c)^2=(a+b)^2+2c(a+b)+c^2.$$

Po rozwinięciu $(a+b)^2$ i nawiasu otrzymujemy $a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.$

a) Po rozwinięciu lewej strony i skróceniu wspólnych składników otrzymujemy $-2ac-2bc=0$, czyli $-2c(a+b)=0$. Ponieważ $c\ne0$, $a+b=0$, zatem $a=-b$.

b) Po rozwinięciu lewej strony i skróceniu otrzymujemy $b^2-2bc=0$, czyli $b(b-2c)=0$. Z założenia $b\ne0$, więc $b=2c$.