MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 91

Stosujemy wzory na różnicę kwadratów i kwadrat dwumianu:

a) $(x^2-9)+(4-x^2)=-5$; b) $x^2-9/4-(x^2-1/4)=-2$; c) $4y^2-12y+9-(9y^2-4)=-5y^2-12y+13$; d) $1-25y^2-(1+10y+25y^2)=-50y^2-10y$; e) $4x^2-y^2+9x^2-4y^2=13x^2-5y^2$; f) $9x^2-y^2-(x^2-25y^2)=8x^2+24y^2$.

Najpierw upraszczamy wyrażenia, a potem podstawiamy wartość $x$.

a) Wyrażenie jest równe $x^2+4$, więc dla $x=\sqrt3$ daje $7$.

b) Otrzymujemy $1+3x^2$, zatem dla $x=\sqrt5$ wynik to $16$.

c) Po rozwinięciu otrzymujemy $-4x^2-8x+1$. Dla $x=\sqrt2$ jest to $-8-8\sqrt2+1=-7-8\sqrt2$.

Rozwijamy prawą stronę, korzystając z rozdzielności mnożenia: $(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2.$ Otrzymaliśmy lewą stronę wzoru, więc tożsamość zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b$.

W każdym podpunkcie stosujemy wzór $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$:

a) $x^2-3^2=x^2-9$; b) $x^2-7^2=x^2-49$; c) $(2x)^2-4^2=4x^2-16$; d) $(5x)^2-6^2=25x^2-36$; e) $(3x)^2-(4y)^2=9x^2-16y^2$; f) $(3y)^2-(x/2)^2=9y^2-x^2/4$.

Rozpoznajemy iloczyny liczb sprzężonych:

a) $25-7=18$; b) $1-5=-4$; c) $1/9-6/4=-25/18$; d) $(2\sqrt2)^2-3^2=-1$; e) $2-3=-1$; f) $5-2/4=9/2$.