MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 89

Po wymnożeniu nawiasów te same potęgi po obu stronach redukują się, pozostawiając równanie liniowe.

Rozwijamy iloczyny i redukujemy składniki kwadratowe. Kolejno pozostają nierówności $9\le6x$, $5x+12<6$, $8x-5\ge0$ i $-17x+9>x$.

Po uproszczeniu otrzymujemy kolejno warunki $x\le2$, $x<10$, $x<0$ oraz $x\le4$. Ponieważ $0\in\mathbb N$, liczby rozwiązań to odpowiednio liczebności zbiorów $\{0,1,2\}$, $\{0,\ldots,9\}$, $\varnothing$ i $\{0,1,2,3,4\}$.

a) Różnica pól upraszcza się do $40x+500=900$, więc $x=10$. Wymiary to $50\times30$ i $30\times20$.

b) Suma pól upraszcza się do $26x-35=69$, więc $x=4$. Pola wynoszą $6$ i $63$.

c) Różnica pól to $15x+46=91$, więc $x=3$. Obwody wynoszą $4\cdot13=52$ i $2(13+6)=38$.

Korzystamy kolejno z rozkładów różnicy kwadratów oraz sumy i różnicy sześcianów: $(x-1)(x+1)=x^2-1$, $(1-x^4)(1+x^4)=1-x^8$, $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$.

a) Po wycięciu narożników podstawa pudełka ma wymiary $(30-2x)\times(20-2x)$, a wysokość $x$. Zatem $V=x(30-2x)(20-2x)=4x^3-100x^2+600x.$

b) Dla arkusza kwadratowego podstawa ma wymiary $(40-2x)\times(40-2x)$, więc $V=x(40-2x)^2=4x^3-160x^2+1600x.$