MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 80

a) Warunek naturalności wyniku i ograniczenie z góry dają $0\le3(2n-11)<21$, czyli $5{,}5\le n<9$.

b) $4(3k+7)>2$ daje $k>-13/6$; uwzględniamy tylko ujemne całkowite.

c) $m/2-(m-2)/3<3$ jest równoważne $m<14$.

Suma krawędzi wynosi $4(3+3+k)=24+4k$, więc $38<24+4k<46$ daje $3{,}5<k<5{,}5$. Pole powierzchni to $2\cdot9+4\cdot3k=18+12k$; warunek $40<18+12k<68$ daje $11/6<k<25/6$.

Dla $n$ uczestników Gamma kosztuje $2230$ zł, a Kappa $1550+8n$ zł. Gamma jest tańsza, gdy $2230<1550+8n$, czyli $n>85$.

Ponieważ $-c>0$ i $c^2>0$, mnożenie przez te liczby zachowuje nierówność $a>b$. Natomiast $c^3<0$, więc dzielenie przez $c^3$ odwraca jej zwrot.

a) Zdanie obala przykład $p=-2$, $q=-1$: mamy $p<q$, lecz $p^2=4>1=q^2$.

b) Zdanie obala $p=-1$, $q=1$: wtedy $p<q$, ale $1/p=-1<1=1/q$.

a) Z $r<s$ wynika $r-s<0$. Pomnożenie nierówności $p<q$ przez tę ujemną liczbę odwraca zwrot: $p(r-s)>q(r-s)$.

b) Założenie jest równoważne $ps<qr$. Dalej $\frac pq<\frac{p+r}{q+s}\iff p(q+s)<q(p+r)\iff ps<qr,$ a także $\frac{p+r}{q+s}<\frac rs\iff s(p+r)<r(q+s)\iff ps<qr.$ Mianowniki są dodatnie, więc przekształcenia są równoważne.