MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 63

Wypisujemy liczby spełniające każdy warunek.

a) $A=\{0,1,2,3,4,5\}$, $B=\{0,1,2,3,4,5,6\}$.

b) $A=\{-4,-3,-2\}$, a z warunku $4\le x^2\le16$ dostajemy $B=\{-4,-3,-2,2,3,4\}$.

c) $A=\{-7,7\}$, natomiast $B=\{7\}$.

a) Zarówno $6$, jak i $15$ mają po cztery dodatnie dzielniki.

b) $36=2^2\cdot3^2$ ma $(2+1)(2+1)=9$ dzielników, a $48=2^4\cdot3$ ma $(4+1)(1+1)=10$.

c) Wśród liczb naturalnych mniejszych od $100$ jest $60$ liczb podzielnych przez $2$ lub $5$ (z uwzględnieniem zera), a $50$ podzielnych przez $3$ lub $4$. Wynika to z zasady włączeń i wyłączeń.

a) Każdy element $B$ należy do $A$, ale $1,2\notin B$.

b) $B=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$, więc wszystkie elementy $A$ należą do $B$.

c) Równanie $x^2=12$ ma rozwiązania $x=\pm2\sqrt3$, zatem oba zbiory są równe.

Każdy element może należeć albo nie należeć do podzbioru, stąd zbiór $n$-elementowy ma $2^n$ podzbiorów. Wypisujemy je według liczby elementów.

a) Z nierówności $2<n^3<125$ wynika $A=\{2,3,4\}$, natomiast $B=\{1,5,25,125\}$. Zbiór $B$ ma więcej elementów, więc także więcej podzbiorów.

b) $A=\{-3,-2,2,3\}$, zaś warunek $1<k^4<75$ daje $B=\{-2,2\}$. Więcej podzbiorów ma $A$.