MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 60

$x=\operatorname{NWW}(a,b)=3^2\cdot5^3\cdot7\cdot11^2\cdot13$, a $y=\operatorname{NWW}(a,c)=3\cdot5^3\cdot11^2\cdot13^2$. Stąd $y/x=13/21=0{,}619\ldots$.

Upraszczamy wyrażenie: licznik to $x^{-4}y^7$, a mianownik $y^3$, więc całość jest równa $x^{-4}y^4=(y/x)^4$. Ponieważ $x=2^{2/3}$ i $y=2^{1/6}$, otrzymujemy $(2^{-1/2})^4=2^{-2}=0{,}25$.

Mamy $1,(54)=1+54/99=153/99=17/11$, więc $m=17$, $n=11$ i $m\cdot n=187$.

Pierwszy logarytm wynosi $1/3$. Ponadto $\sqrt[4]8=2^{3/4}$, zatem $\log_4\sqrt[4]8=(3/4)/2=3/8$. Suma to $1/3+3/8=17/24=0{,}7083\ldots$.

Wśród pięciu kolejnych liczb jedna jest podzielna przez $5$, co najmniej jedna przez $3$, a wśród co najmniej dwóch parzystych jedna jest podzielna przez $4$. Iloczyn zawiera więc czynniki $5\cdot3\cdot2\cdot4=120$; równoważnie jest podzielny przez $5$, $3$ i $8$, które są parami względnie pierwsze.

W rozkładzie $7^{11}\cdot11^7$ dzielnik może zawierać potęgę $7^i$ dla $i=0,\ldots,11$ oraz $11^j$ dla $j=0,\ldots,7$. Wybory są niezależne.

Niech wymierna przekątna sześcianu będzie równa $q=a\sqrt3\ne0$. Wtedy przekątna podstawy to $a\sqrt2=q\sqrt{2/3}=q\sqrt6/3$. Liczba $\sqrt6$ jest niewymierna, a jej iloczyn przez niezerową liczbę wymierną $q/3$ także jest niewymierny.

Niech $\log_3a=n$, $\log_3b=n+1$ i $\log_3c=n+2$. Wówczas $a=3^n$, $b=3^{n+1}$, $c=3^{n+2}$, więc $a+b+c=3^n(1+3+9)=13\cdot3^n$.

Oznaczmy $a\sqrt2=q$, gdzie $q$ jest wymierne i niezerowe. Gdyby $a$ także było wymierne, to $\sqrt2=q/a$ byłoby ilorazem dwóch niezerowych liczb wymiernych, czyli liczbą wymierną — sprzeczność.