MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 59

Najmniejsza taka liczba dwucyfrowa to $14$, a największa $98$. Tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $6$, więc liczba wyrazów wynosi $(98-14)/6+1=15$.

Przyprostokątne upraszczają się do $6\sqrt3$ i $8\sqrt3$. Przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{(6\sqrt3)^2+(8\sqrt3)^2}=10\sqrt3$, więc sumujemy trzy boki.

Pierwsze równanie ma postać $5^{x/2}=5^{7/2}$, więc $x=7$. Drugie: $2^{y/2}=2^{10}$, więc $y=20$.

Po obniżce pozostaje $40\%$ ceny. Musi więc zachodzić $0{,}4(1+p/100)=1$, skąd $1+p/100=2{,}5$.

Cena netto przed obniżką wynosi $307{,}50/1{,}23=250$ zł. Po obniżce VAT $51{,}75$ zł stanowi $23\%$ nowej ceny netto, więc ta cena wynosi $51{,}75/0{,}23=225$ zł.

$x=(2/\sqrt3)^4=16/9$, natomiast w $y$ dodajemy wykładniki dwójki: $1/2+1/3+1/6=1$, więc $y=2$. Ponieważ $16/9<18/9=2$, mamy $x<y$.

Wśród liczb $100$–$999$ jest $225$ wielokrotności $4$ i $180$ wielokrotności $5$. Wielokrotności obu liczb, czyli $20$, są policzone podwójnie; jest ich $45$. Z zasady włączeń i wyłączeń otrzymujemy $225+180-45=360$.

Obliczamy $x=(7/15):(7/20)=4/3$ oraz $y=(3/2)^{-2}\cdot8/3=32/27$. Iloraz $x/y=9/8=1{,}125$, zatem nadwyżka względem $y$ wynosi $0{,}125$.

Wspólna wydajność trzech kranów to $1/4$ basenu na godzinę. Wydajność kranu C wynosi $1/4-1/10-1/12=15/60-6/60-5/60=1/15$.

Rozwijamy iloczyny: $b=(2-\sqrt5)(1-2\sqrt5)=12-5\sqrt5$, a $c=(-2+\sqrt5)(11+2\sqrt5)=-12+7\sqrt5$. Zatem $b+c=2\sqrt5$ i $\sqrt a=\sqrt{45}=3\sqrt5$.