MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 56

Mamy $x=0{,}8(3)=5/6$ i $y=1,(3)=4/3$. Podstawiamy te ułamki i sprowadzamy składniki do wspólnego mianownika.

Redukujemy wykładniki, zachowując ograniczenia z wyrażenia początkowego. W c pierwszy składnik upraszcza się do $9z^4y^6$, a drugi do $z^4y^6$. W d licznik jest równy $t(s^2-t^2)$, a mianownik $s^2-t^2$.

Najpierw upraszczamy potęgi, dopiero potem podstawiamy. a) otrzymujemy $5y^2/x^2=20$. b) $8x^3/y^3=\sqrt3/6$. Analogiczna redukcja w c i d daje odpowiednio $27$ i $2$.

Rozkładamy każdy licznik na składniki i dzielimy przez wspólny jednomian. a) $u=2m-5+4t$, $v=3t-7$, $w=-m/2-t/4$. b) $u=-16x+15$, $v=12-17x$, $w=-11x-3$.

Rozkładamy podstawy na czynniki pierwsze i dodajemy wykładniki tych samych podstaw. Przykładowo w c otrzymujemy $2^{-1/3}=\sqrt[3]4/2$, a w d wykładniki redukują się do liczby wymiernej.

Korzystamy z własności sumy i różnicy logarytmów. a) lewa strona to $\log_2(20\cdot1{,}6)=\log_232=5$, podobnie prawa. b) $36\cdot81=4\cdot3^6$. c) $\log_2(48/6)=\log_28=3=\log_464$. d) $\log_3(72/4)=\log_318=2+\log_32$.

Oznaczmy środkową z pięciu kolejnych liczb nieparzystych przez $r$. Ich suma to $(r-4)+(r-2)+r+(r+2)+(r+4)=5r$. Zatem $k/5=r$, a $r$ jest liczbą całkowitą.

Warunek $\operatorname{NWD}(x,48)=8$ pozwala zapisać $x=8k$, gdzie $k$ jest względnie pierwszy z $6$. Dla dwucyfrowego $x$ mamy $2\le k\le12$; pasują $k=5,7,11$.

Przekątna ma długość $\sqrt{n^2+1}$. Dla dodatniego $n$ zachodzi $n^2<n^2+1<(n+1)^2$. Gdyby pierwiastek z całkowitej liczby $n^2+1$ był wymierny, byłby całkowity, lecz między $n$ a $n+1$ nie ma liczby całkowitej.

Wybierzmy $c=m+\frac{\sqrt2}{2}$. Ponieważ $0<\sqrt2/2<1$, mamy $m<c<m+1$. Suma liczby całkowitej i niewymiernej jest niewymierna, więc wskazane $c$ spełnia oba warunki.