MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 55

Rozkłady dają liczby dzielników: $12=2^2\cdot3$ — $6$; $50=2\cdot5^2$ — $6$; $60=2^2\cdot3\cdot5$ — $12$; $110=2\cdot5\cdot11$ — $8$; $123=3\cdot41$ — $4$.

Stosujemy prawa potęg, sprowadzając składniki do wspólnych podstaw. Przykładowo w a otrzymujemy $4^{-6+5-(-2)}=4$, a w e wszystko zapisujemy jako potęgi dwójki.

a) Pierwszy pierwiastek to $5x^2/4$, a drugi $3\sqrt2x^2/4$. Różnica wynosi $\frac{5-3\sqrt2}{4}x^2\ge0$, bo $5>3\sqrt2$. b) Lewa strona po uproszczeniu wynosi $\frac{37}{30}x^4$. Ponieważ $37/30>2\sqrt3/3$ (po podniesieniu dodatnich stron do kwadratu: $1369/900>1200/900$), nierówność zachodzi.

Porównujemy kwadraty dodatnich liczb z kolejnymi kwadratami liczb naturalnych: $3^2<12<4^2$, $11^2<125<12^2$ oraz $5^2<35<6^2$.

Zapisujemy wszystkie czynniki w notacji wykładniczej, wykonujemy działania na współczynnikach oraz wykładnikach, a wynik normalizujemy do współczynnika z przedziału $[1,10)$.

Obliczamy logarytmy. a) $a=6,b=4,c=5,d=3$. b) $a=3/2,b=7/3,c=5/2,d=-2$. Uporządkowanie tych wartości daje żądane kolejności.

Pole jest mnożone przez iloczyn zmian długości boków. a) $0{,}8^2=0{,}64$, więc spadek wynosi $36\%$. b) $0{,}9\cdot1{,}1=0{,}99$, więc spadek wynosi $1\%$.

Rok temu klub liczył $216$ osób. Trzy lata temu było to o dwa roczne wzrosty wcześniej, więc dzielimy przez $1{,}2^2$: $216/1{,}44=150$.

Roczne odsetki spełniają równanie $3000\cdot p/100+4000\cdot(p+2)/100=360$. Po pomnożeniu przez $100$ mamy $3000p+4000p+8000=36000$, skąd $p=4$.

Promil to jedna tysięczna. Mnożymy odpowiednio przez $1+2/1000=1{,}002$ oraz $1+1{,}6/1000=1{,}0016$.